Hyperbolische Geometrie
Die hyperbolische Geometrie erhält man, wenn man anstelle des Parallelenaxioms eine seiner Verneinungen, das "hyperbolische Axiom" annimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P mindestens zwei Geraden gibt die durch P gehen und zu g parallel sind. (Dass zwei Geraden "parallel" zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben.)
Ein einfaches Modell zum Veranschaulichen einer solchen Geometrie ist das Klein-Bertrami-Modell: Die "Ebene" ist hier ein offener Kreis ("offen" bedeutet, dass der Rand des Kreises nicht zur Ebene dazugehört), und "Geraden" sind Kreissehnen. Ein Nachteil diese Modells ist, dass es die Längen- und Winkelmessung verkompliziert, da man eine spezielle Distanzfunktion verwendet.
Siehe auch: elliptische Geometrie