Hypergeometrische Verteilung

Inhaltsverzeichnis

2.1 Ausführliches Rechenbeispiel für h(4|45,20,10)

3 Eigenschaften der Hypergeometrischen Verteilung

Allgemeine Problemstellung

Zu einer Menge mit N Elementen gibt es zwei voneinander unabhängige Teilmengen mit M bzw. N-M Elementen.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion h(x|N;M;n) der Hypergeometrischen Verteilung mit den Parametern N, M und n gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die beiden Teilmengen genau 0, 1, 2, 3, ... Elemente gemeinsam besitzen.

Anschaulich könnte man dieses Konzept mit dem Urnenmodell erläutern. Gegeben ist eine Urne mit zwei Sorten Kugeln, also eine dichotome Grundgesamtheit. Es sind insgesamt N Kugeln in der Urne und M Kugeln erster Sorte. Es werden n viele Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne gezogen (Stichprobe). Man interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit h(x|N;M;n), dass sich x viele Kugeln erster Sorte in dieser Stichprobe befinden.

Wenn man die Zufallsvariable "Zahl der Kugeln erster Sorte in der Stichprobe" als X bezeichnet, kann man die Wahrscheinlichkeit dafür angeben als

$P(X = x)= h(x|N;M;n)= \frac{{M \choose x}{N-M \choose n-x}}{{N \choose n}}$

für x = 0, 1, ... ,n.

Die Verteilungsfunktion H(x|N;M;n) gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens x viele Kugeln erster Sorte in der Stichprobe sind. Diese kumulierte Wahrscheinlichkeit ist die Summe

$P(X \le x)= \sum_{y=0}^{x}h(y|N;M;n).$

Beispiele

In einem Behälter befinden sich 45 Kugeln, davon sind 20 gelb. Es werden 10 Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.
Die Hypergeometrische Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit h(x|45;20;10) an, dass genau x = 0, 1, 2, 3, ..., 10 der entnommenen Kugeln gelb sind.

Beim Zahlenlotto gibt es 49 nummerierte Kugeln; davon werden bei der Auslosung 6 gezogen; auf dem Lottoschein werden 6 Zahlen angekreuzt.
h(x|49;6;6) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, genau x = 0, 1, 2, 3, ..., 6 "Treffer" zu erzielen.

Ausführliches Rechenbeispiel für h(4|45,20,10)

farbige Kugeln
Zu dem oben aufgeführten Beispiel der farbigen Kugeln soll die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass genau 4 gelbe Kugeln resultieren
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus:

Anzahl der Möglichkeiten, genau 4 gelbe (und damit genau 6 violette) Kugeln auszuwählen

geteilt durch

Anzahl der Möglichkeiten, genau 10 Kugeln beliebiger Farbe auszuwählen

Es gibt

${ 20 \choose 4 } = 4845$

Möglichkeiten, genau 4 gelbe Kugeln auszuwählen.
Es gibt

${ 25 \choose 6 } = 177100$

Möglichkeiten, genau 6 violette Kugeln auszuwählen.
Da jede "gelbe Möglichkeit" mit jeder "violetten Möglichkeit" kombiniert werden kann, ergeben sich

$4845 \cdot 177100 =858049500$

Möglichkeiten für genau 4 gelbe und 6 violette Kugeln. Wir erhalten also die Wahrscheinlichkeit

$P(X=4)=h(4|45,20,10)=\frac{{ 20 \choose 4 }{ 25 \choose 6 }}{{ 45 \choose 10 }} = \frac{4845 \cdot 177100 }{3190187286} = 0,2690,$

das heißt, in rund 27 Prozent der Fälle werden genau 4 gelbe (und 6 violette) Kugeln entnommen.

Eigenschaften der Hypergeometrischen Verteilung

Für alle natürlichen Zahlen N, M, n, x mit N ≥ M und N ≥ n gilt:

h(x|N;M;n)= h(x|N;M=n;n=M)

$h(x|N;M;n)= \frac{{M \choose x}{N-M \choose n-x}}{{N \choose n}}$
$h(x|N;M;n)= \frac{{n \choose x}{N-n \choose M-x}}{{N \choose M}}$
Der Erwartungswert der Hypergeometrischen Verteilung ist

$E[X]= n \frac{M}{N}$

Ihre Varianz ist

$V[X]=n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1}),$

wobei der letzte Bruch der so genannte Korrekturfaktor beim Modell ohne Zurücklegen ist.

Die Hypergeometrische Verteilung kann unter bestimmten Umständen durch die Binomialverteilung angenähert werden.

Zahlenwerte zu den Beispielen

h(x\|45;20;10)
x	Anzahl möglicher Ergebnisse	Wahrscheinlichkeit in %
0	3268760	0,1024
1	40859500	1,2807
2	205499250	6,4416
3	547998000	17,1776
4	858049500	26,8965
5	823727520	25,8207
6	490314000	15,3694
7	178296000	5,5889
8	37791000	1,1846
9	4199000	0,1316
10	184756	0,0058
∑	3190187286	100,0000
Erwartungswert		4,4444
Varianz		1,9641

h(x\|45;10;20)
x	Anzahl möglicher Ergebnisse	Wahrscheinlichkeit in %
0	3247943160	0,1024
1	40599289500	1,2808
2	204190544250	6,4416
3	544508118000	17,1776
4	852585079500	26,8965
5	818481676320	25,8207
6	487191474000	15,3694
7	177160536000	5,5889
8	37550331000	1,1846
9	4172259000	0,1316
10	183579396	0,0058
11	0	0
12	0	0
13	0	0
14	0	0
15	0	0
16	0	0
17	0	0
18	0	0
19	0	0
20	0	0
∑	3169870830126	100,0000
Erwartungswert		4,4444
Varianz		1,9641

h(x\|49;6;6)
x	Anzahl möglicher Ergebnisse	Wahrscheinlichkeit in %
0	6096454	43,5965
1	5775588	41,3019
2	1851150	13,2378
3	246820	1,7650
4	13545	0,0969
5	258	0,0018
6	1	0,0000
∑	13983816	100,0000
Erwartungswert		0,7347
Varianz		0,5776

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