Ikosaeder

right|rotierender Ikosaeder Das Ikosaeder (nach griech. Zwanzigflach) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer: ein Polyeder (ein Vielflächner) mit

zwanzig (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
dreißig (gleich langen) Kanten und
zwölf Ecken, in denen jeweils fünf Flächen zusammentreffen

Inhaltsverzeichnis

1 Symmetrie

2 Beziehungen zu anderen Polyedern

3 Zur Struktur des Ikosaeders

4 Formeln

5 Anwendungen

6 Weblinks

Symmetrie

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Ikosaeder ein reguläres Polytop. Es hat:

sechs fünfzählige Drehachsen (durch gegenüber liegende Ecken)
zehn dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Flächen)
fünfzehn zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten)
fünfzehn Symmetrieebenen (durch einander gegenüber liegende – und parallele – Kanten)

und ist

zentralsymmetrisch (Punktspiegelung am Mittelpunkt des Polyeders)

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Ikosaeders – die Ikosaeder- oder Dodekaedergruppe – 120 Elemente.

Die Symmetrie des Ikosaeders ist (wegen der bei ihm auftretenden fünfzähligen Symmetrie) mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich. Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (vgl. jedoch Quasikristalle).

Beziehungen zu anderen Polyedern

Das Dodekaeder ist das zum Ikosaeder duale Polyeder (und umgekehrt).
Mit Hilfe von Ikosaeder und Dodekaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Ikosaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

ein abgestumpftes Ikosaeder mit 20 Sechsecken und 12 Fünfecken

(man erhält es auch, indem man die Ecken eines Ikosaeders abstumpft)

(ähnlich einem Fußball, siehe auch Fulleren)

ein Ikosidodekaeder mit 20 Dreiecken und 12 Fünfecken
ein abgestumpftes Dodekaeder mit 20 Dreiecken und 12 Zehnecken

als Durchschnitte eines Ikosaeders mit einem Dodekaeder (siehe archimedische Körper) und

ein Rhombentriakontaeder mit 20+12 = 32 Ecken und 30 Rhomben als Flächen

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Ikosaeders mit einem Dodekaeder.

Zur Struktur des Ikosaeders

Wie die untenstehende Graphik zeigt, kann man unter den Kanten des Ikosaeders drei Paare gegenüber liegender (also insgesamt sechs) Kanten so auswählen, dass diese Paare drei kongruente, zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. (Die Längen der Seiten dieser Rechtecke entsprechen dem Goldenen Schnitt, weil sie Seiten bzw. Diagonalen regelmäßiger Fünfecke sind.) Das Ikosaeder kann daher so in einen Würfel eingeschrieben werden, dass diese sechs Kanten in den sechs Flächen des Würfels liegen und parallel zu den Kanten des Würfels sind.
Die 24 restlichen Kanten begrenzen 8 Dreiecke (unter den 20 Flächen des Ikosaeders), die in den Flächen eines – dem Ikosaeder umschriebenen – Oktaeders liegen, wobei die Ecken des Ikosaeders auf dessen Kanten liegen.
Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Ikosaeders zu genau einer solchen Gruppe von orthogonalen Kantenpaaren gehört, während jede Fläche zweimal in der Fläche eines umschriebenen Oktaeders liegt. Die Symmetriegruppe des Ikosaeders bewirkt alle 5!=120 Permutationen dieser fünf Positionen.

Bild:Ikosaeder.jpg

Die Kanten des Ikosaeders enthalten 12 ebene Fünfecke, wobei jede Kante zu zwei dieser Fünfecke gehört, und jede Ecke zu fünf. (Man kann diese Eigenschaft zum Bau eines Drahtmodells benützen.)

Formeln

Formeln zum Ikosaeder
Volumen	$V \, = \, \frac{5}{12} \left( 3 + \sqrt{5} \right) a^3 \approx 2{,}181694991 \, a^3$
Inhalt der Oberfläche	$A_O \, = \, 5 \sqrt{3} a^2 \approx 8{,}660254038 \, a^2$
Umkugelradius	$r_u \, = \, \frac{a}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} \approx 0{,}9510565163 \, a$
Inkugelradius	$r_i \, = \, \frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3 + \sqrt{5} \right) \approx 0{,}7557613141 \, a$
Volumenanteil an der Umkugel (UK)	$\frac{V} {V_{UK}} = \frac{ \sqrt{2}}{2 \pi} \sqrt{5 + \sqrt{5}} \approx 0{,}605461383$

Anwendungen

Viele Viren, darunter HIV, haben eine ikosaedrische Form. Das ist dadurch zu erklären, dass Viren möglichst klein sein müssen. Die Ikosaederform ist in dieser Hinsicht optimal, weil das Ikosaeder von allen regelmäßigen Polyedern mit gegebenem Durchmesser das größte Volumen besitzt.
Rudolf von Laban hatte das Ikosaeder für seine Raumharmonielehre intensiv genutzt und beeinflusste damit den modernen Tanz. Dies wird heute in der "Laban Movement Analysis" weiter geführt.

Weblinks

Herleitungen