Impulserhaltungssatz

Der Impulserhaltungssatz besagt, dass in einem abgeschlossenen System die Summe der Impulse vor dem Stoß gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß ist. Etwas allgemeiner ist die Formulierung, (die ohne den Begriff Stoß auskommt): in einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls $\vec{p}$ des Systems, das aus $n$ miteinander wechselwirkenden Teilchen besteht, konstant, d.h.

$\vec{p} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + ......+ \vec{p}_n = konstant,$

wobei $\vec{p}_i$ den Impuls des Teilchens $i$ bezeichnet. (Vorsicht: dieser Satz gilt streng genommen nur vektoriell!) Hierbei bedeutet abgeschlossen, dass nur Paarwechselwirkungen zugelassen werden , d.h. alle auftretenden Kräfte können als Paarkräfte zwischen den Teilchen $i$ und $j$ gemäß

$\vec{F}_{ij}=F(|\vec{r}_{ij}|)\vec{r}_{ij}$

mit dem Verbindungsvektor $\vec{r}_{ij}$ zwischen den Teilchen formuliert werden. Dies ist offensichtlich bei vollkommen elastischen Stößen der Fall. Das bedeutet also auch, daß keine externen Kraftfelder wirken.

Unter den genannten, mathematisch sehr einfach zu fassenden Voraussetzungen, kann der Impulserhaltungssatz direkt aus den Newtonschen Axiomen abgeleitet werden.

Für einen Stoßvorgang lässt sich also die folgende Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten $\vec{v}_i$ vor und den Geschwindigkeiten $\vec{u}_i$ nach dem Stoß aufstellen

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + ......+ m_n\vec{v}_n = m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2 + ...... + m_n\vec{u}_n,$

wobei $m i$ die Masse des $i .$ am Stoß beteiligten Teilchens bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

1 Sonderfälle

1.1 Äußere Kräfte
1.2 Elastischer Stoß
1.3 Inelastischer Stoß
1.4 Superelastischer Stoß
1.5 Reaktiver Stoß

2 Strömungsmechanik

Sonderfälle

Ein Wort vorweg:

$\vec{v}_n \neq \vec{v}_n^'$

$\vec{v}_n$ ist die Geschwindigkeit der Masse $m n$ vor dem Stoß und $\vec{v}_n^'$ die Geschwindigkeit nach dem Stoß. Auch wenn sie optisch nicht gut zu unterscheiden sind, sind sie trotzdem nicht zwangsläufig identisch.

Äußere Kräfte

Wirken äußere Kräfte, wie beispielsweise beim Stoß auf einer schiefen Ebene, so gilt der Impulserhaltungssatz - eingeschränkt auf die Zeitpunkte kurz vor und kurz nach dem Stoß -, wenn die Wirkung der äußeren Kräfte im Stoßintervall vernachlässigbar klein sind.

Elastischer Stoß

Bei einem vollelastischem Stoß ist die Summe der kinetischen Energien vor dem Stoß gleich der Summe der kinetischen Energien nach dem Stoß.

${1 \over 2}m_1\vec{v}_1^2 + {1 \over 2}m_2\vec{v}_2^2 + ... + {1 \over 2}m_n\vec{v}_n^2 = {1 \over 2}m_1\vec{v}_1^{'2} + {1 \over 2}m_2\vec{v}_2^{'2} + ... + {1 \over 2}m_n\vec{v}_n^{'2}$

Inelastischer Stoß

Bei einem inelastischen Stoß geht ein Teil der kinetischen Energie in "innere Energie" über. Meist macht sich dies durch eine Temperaturänderung bemerkbar.

Superelastischer Stoß

Beim superelastischen Stoß geht innere Energie mindestens einer der Stoßpartner in kinetische Energie über. Die kinetische Energie ist nach dem "Stoß zweiter Art" größer als vor dem Stoß.

${1 \over 2}m_1\vec{v}_1^2 + {1 \over 2}m_2\vec{v}_2^2 + ... + {1 \over 2}m_n\vec{v}_n^2 = {1 \over 2}m_1\vec{v}_1^{'2} + {1 \over 2}m_2\vec{v}_2^{'2} + ... + {1 \over 2}m_n\vec{v}_n^{'2} + Q$

Dabei ist Q nun die neue kinetische Energie, die sich aus der inneren Energie eines der Stoßpartner entwickelt hat.

Reaktiver Stoß

Beim reaktiven Stoß kommt es zu Reaktionen, wie zB chemische Reaktionen oder beim Erzeugen neuer Teilchen durch Stöße hochenergetischer Teilchen. Dabei kann sich neben der Geschwindigkeit auch die Masse ändern.

Strömungsmechanik

Im Bereich der Strömungsmechanik wird unter der Kontinuumsannahme die, auf ein infinitesimal kleines Volumenelement bezogene (differentielle), Impulsgleichung verwendet.

$\partial (\rho \vec{v}) / \partial t + \nabla \cdot (\rho \vec{v} \vec{v}) = \nabla \cdot T - \nabla p + \vec{f}$

$ρ$ = Dichte, $t$ = Zeit, $T$ = Spannungstensor, $p$ = Druck, $\vec{f}$ = Volumenkräfte (bspw. Gravitation $\vec{f}=-\rho \vec{g}$ )

Kategorie:Klassische Mechanik