Integralgleichung
Eine Gleichung wird in der Mathematik Integralgleichung genannt, wenn darin die unbekannte Funktion in einem Integral vorkommt.
Eine lineare Integralgleichung ist eine Gleichung für eine unbekannte Funktion u(x) und hat folgende Form:
Hier ist λ eine beliebige Zahl, f(x) eine gegebene Funktion, und Ω ein Gebiet im euklidischen Raum. Die ebenfalls gegebene Funktion k(x,y) wird Kern genannt. Nichtlineare Gleichungen können noch komplizierter sein, z.B. kann die Funktion u(x) im Kern vorkommen k(x,y,u(x)).
Lineare Integralgleichungen kann man einteilen in
- Integralgleichungen 1. Art wenn λ = 0
- Integralgleichungen 2. Art wenn
Diese Einteilung erscheint auf den ersten Blick künstlich, aber der tiefere Grund dafür ist, dass Gleichungen 1. Art und 2. Art völlig verschiende Eigenschaften haben. Die wichtigste davon ist, dass unter schwachen Voraussetzungen an den Kern, Integralgleichungen 2. Art für fast alle Werte von λ stetig invertiert werden können, während Integralgleichungen 1. Art (unter denselben Voraussetzungen an den Kern) keine stetige Inverse besitzen und daher sogenannte inkorrekt gestellte Probleme sind.
Eine weitere Einteilung beruht auf Eigenschaften der Kernfunktion k(x,y). Hier gibt es Fredholm-Integralgleichungen, Volterra-Integralgleichungen, schwach singuläre und stark singuläre Integralgleichungen.
Wesentlich für die Theorie der (nicht stark singulären) Integralgleichungen ist die Theorie der kompakten Operatoren. Das obige Integral definiert für hinreichend glatte Kernfunktionen k(x,y) einen kompakten Operator. Die Theorie dazu ähnelt in gewisser Weise der von linearen Gleichungen im Endlichdimensionalen. Kompakte Operatoren haben nämlich im wesentlichen pure Eigenwertspektren (Genauer: Das Spektrum besteht, evtl. von der Null abgesehen, nur aus Eigenwerten und diese häufen sich in höchstens einem Punkt, der Null. Alle Eigenräume (evtl. von dem der Null abgesehen) sind endlichdimensional).
Integraloperatoren treten oft (aber nicht ausschließlich) bei der Lösung von Differentialgleichungen auf. Zum Beispiel bei Sturm-Liouville-Probleme, oder bei partiellen Differentialgleichungen in Form der Greenschen Funktion.
Falls in der Gleichung zusätzlich noch eine Ableitung der Funktion vorkommt, spricht man von Integro-Differentialgleichungen
Siehe auch: Funktionalanalysis.