Intuitionismus
Der Intuitionismus (eine Art des Konstruktivismus) ist eine Richtung der mathematischen Logik, bei der jedes mathematische Objekt als Konstruktion angesehen wird.
Grundgedanke
Ein Objekt wird also als existierend angesehen, wenn es konstruiert werden kann. Aus diesem Grund lehnt der Intuitionismus das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten (tertium non datur), das in der klassischen Logik Widerspruchsbeweise ermöglicht, im allgemeinen ab. In der klassischen Logik kann man die Existenz eines mathematischen Objektes beweisen, indem man die Nichtexistenz widerlegt. Für den Intuitionismus sind derartige Existenzbeweise nicht zulässig, da durch die Widerlegung der Nichtexistenz nichts darüber ausgesagt wird, wie das Objekt konkret zu konstruieren ist.
In der Mathematik des Endlichen gibt es keine Unterschiede, da die Anwendung des Gesetzes vom ausgeschlossenen Dritten immer durch Aufzählung und getrennte Untersuchung aller Fälle vermieden werden kann.
Der Intuitionismus lehnt auch den Begriff der aktuellen Unendlichkeit ab (auch "aktuale Unendlichkeit" genannt). Im Intuitionismus gibt es deshalb auch keine aktual unendlichen Mengen, wie die Menge aller natürlichen Zahlen. Aus diesem Grund müssen die meisten Gesetze der Mengenlehre neu betrachtet und rekonstruiert werden, da sie zu Theorien führen, die sich von der klassischen Mathematik stark unterscheiden.
Geschichte
Die Geschichte der intuitionistischen Logik beginnt im Jahr 1912, als Luitzen Egbertus Jan Brouwer mit seiner Kritik am Gesetz des ausgeschlossenen Dritten ihre philosophischen Grundlagen formuliert. Die erste vollständige Formalisierung intuitionistischer Aussagen- und Prädikatenlogik stellt Arend Heyting im Jahr 1930 vor. 1933 zeigt Kurt Gödel eine Übersetzungsmöglichkeit von klassischer in intuitionistische Logik auf. Eine Semantik für die intuitionistische Logik präsentiert als erster Saul Kripke. Weitere Logiker, die zum Intuitionismus beigetragen haben, sind Stephen Kleene und in Deutschland Paul Lorenzen.