Irrationale Zahl

Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Ratio ist dabei in der Bedeutung Verhältnis gebraucht, nicht in der Bedeutung Vernunft. Eine irrationale Zahl ist also nicht "unvernünftig", wie der Alltagsgebrauch des Wortes irrational nahelegen würde.

Definition
Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann (d.h. nicht als $\frac{p}{q}$ mit $p, q \in\mathbb{Z}$ und $q\neq0$ ).

Im Gegensatz zu rationalen Zahlen, die als endliche oder periodische Dezimalzahlen dargestellt werden können, sind irrationale Zahlen solche, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch ist.

Es gibt zwei Typen von Irrationalzahlen:

Algebraische Zahlen (etwa Wurzeln, z.B. $\sqrt{2}$ , $1+\sqrt[3]{5}$ ) und
Transzendente Zahlen (die Kreiszahl π = 3,14159..., die Eulersche Zahl e = 2,71828...).

Den Begriff der irrationalen Zahl führten die alten Griechen ein. Hippasus aus Metapontum, ein Schüler des Pythagoras soll auf Befehl von Pythagoras ertränkt worden sein, nachdem Hippasus die Existenz irrationaler Zahlen (die Wurzel 2) festgestellt hatte. Definitionen, die den heutigen Ansprüchen an Exaktheit genügen, gaben zuerst Georg Cantor und Richard Dedekind an.

Inhaltsverzeichnis

1 Zahlen, deren Irrationalität geklärt ist

2 Zahlen, deren Irrationalität ungeklärt ist

3 Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen

4 Siehe auch

Zahlen, deren Irrationalität geklärt ist

Euklid bewies die Irrationalität von $\sqrt{2}$ (zum Beweis siehe hier).

Im Jahr 1979 bewies Apery die Irrationalität von

$\zeta(3)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}.$

Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl $e$

$e π$ ist transzendent.

Zahlen, deren Irrationalität ungeklärt ist

Es ist noch unbekannt, ob eine der Zahlen π + e oder π - e irrational ist. (Allerdings weiß man, dass mindestens eine dieser beiden irrational sein muss.)

Es ist sogar für kein einziges Paar ganzer, von Null verschiedener Zahlen m und n bekannt, ob mπ + ne irrational ist. Es ist ebenfalls unbekannt, ob 2^e, π^e, π^√2, π^π, e^e oder die Eulersche Konstante γ = 0,57721... irrational sind.

Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen

Die irrationalen Zahlen sind im Gegensatz zu den rationalen Zahlen überabzählbar. Grob gesagt heißt dies: wenn man jeder irrationalen Zahl eine natürliche Zahl zuordnet, gibt es noch immer unendlich viele irrationalen Zahlen, die nicht einer natürlichen Zahl zugeordnet sind. Dies ist bei den rationalen Zahlen nicht der Fall, siehe Cantors erstes Diagonalargument. Zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument.

Streng genommen wird dort die Überabzählbarkeit von R bewiesen. Da R sich nun disjunkt in die rationalen und die irrationalen Zahlen zerlegen lässt, die rationalen Zahlen aber „nur“ abzählbar unendlich sind, müssen die irrationalen Zahlen überabzählbar sein.

Es lässt sich allerdings zeigen, dass auch die algebraischen Zahlen, wozu alle Wurzelausdrücke gehören, noch abzählbar sind. Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen liegt also allein an den transzendenten Zahlen.

Irrationale Zahl

Zahlen, deren Irrationalität geklärt ist

Zahlen, deren Irrationalität ungeklärt ist

Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen

Siehe auch

See also: Irrationale Zahl, Algebraische Zahl, Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl, Cantor-Diagonalisierung, Cantors zweites Diagonalargument, Dezimalsystem, Ertränken, Euklid, Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2, Eulersche Konstante