K-Theorie

Das mathematische Teilgebiet der K-Theorie beschäftigt sich mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen (topologische K-Theorie) oder Ringen bzw. Schemata (algebraische K-Theorie).

Inhaltsverzeichnis

1 Topologische K-Theorie

1.1 Definitionen
1.2 Eigenschaften
1.3 Bott-Periodizität

2 Algebraische K-Theorie

2.1 Niedrige Dimensionen

2.1.1 K0
2.1.2 K1
2.1.3 K2

2.2 Milnors K-Theorie
2.3 Quillens K-Theorie

2.3.1 Klassifizierende Räume von Kategorien
2.3.2 Quillens Q-Konstruktion
2.3.3 Die K-Gruppen

3 Literatur

Topologische K-Theorie

Definitionen

Es sei X ein fester kompakter Hausdorffraum.

Dann ist K(X) der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen von komplexen Vektorbündeln über X nach der Untergruppe, die von Elementen der Form

$[E\oplus F]-[E]-[F]$

für Vektorbündel E, F erzeugt wird. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen nachempfunden ist, heißt Grothendieckgruppe (nach Alexander Grothendieck). Betrachtet man stattdessen reelle Vektorbündel, erhält man die reelle K-Theorie KO(X).

Zwei Vektorbündel E und F auf X definieren genau dann dasselbe Element in K(X), wenn sie stabil äquivalent sind, d.h. wenn es ein triviales Vektorbündel G gibt, so dass

$E\oplus G\cong F\oplus G$

gilt.

Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird K(X) zu einem kommutativen Ring mit Einselement.

Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der K-Theorie. Die reduzierte K-Theorie $\tilde K(X)$ ist die Untergruppe der Elemente vom Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung $\tilde K^n(X)=\tilde K(S^nX)$ ein; dabei bezeichnet S die reduzierte Einhängung.

Eigenschaften

K ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffräume.
Es gibt einen topologischen Raum BU, so dass Elemente von K(X) den Homotopieklassen von Abbildungen X → BU entsprechen.
Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus K(X) → H^*(X,Q), den Chern-Charakter.

Bott-Periodizität

Dieses nach Raoul Bott benannte Periodizitätsphänomen lässt sich auf die folgenden Arten formulieren:

$K(X\times S^2)=K(X)\otimes K(S^2),$ und $K(S^2)=\mathbb Z[H]/(H-1)^2;$ dabei ist $H$ die Klasse des tautologischen Bündels über $S^2=\mathbb CP^1$ .
$\tilde K^{n+2}(X)=\tilde K^n(X)$
$\Omega^2\mathrm{BU}\simeq\mathrm{BU}\times\mathbf Z$ .

In der reellen K-Theorie gibt es eine ähnliche Periodizität mit Periode 8.

Algebraische K-Theorie

A sei stets ein unitärer Ring.

Niedrige Dimensionen

K₀

Der Funktor K₀ ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Ringe mit Einselement in die Kategorie der Gruppen; er ordnet einem Ring die Grothendieckgruppe der Isomorphieklassen von projektiven Moduln zu. Ist A ein Dedekindring, so ist

$K_0(A)=\mathop{\mathrm{Pic}}A\times\mathbf Z$ .

K₁

Hyman Bass schlug die folgende Definition für einen Funktor K₁ vor: K₁(A) ist die Abelisierung der unendlichen allgemeinen linearen Gruppe:

K₁(A) = GL(A)^ab

Dabei ist

GL(A) = colim GL_n(A),

wobei GL_n in die obere linke Ecke von GL_n+1 eingebettet werde.

Für einen kommutativen Ring ist K₁(A) die Einheitengruppe.

K₂

J. Milnor fand den richtigen Kandidaten für K₂: Es sei die Steinberggruppe (nach R. Steinberg) St(A) eines Ringes A definiert als die Gruppe mit den Erzeugern x_ij(r) für positive ganze Zahlen i ≠ j und Ringelemente r und den Relationen

$x i j (r)x i j (r') = x i j (r + r')$
$[x i j (r),x j k (r')] = x i k (r r')]$ für $i\not=k$
$[x i j (r),x k l (r')] = 1$ für $i\not=l,j\not=k$

Diese Relationen gelten auch für die Elementarmatrizen, deshalb gibt es einen Gruppenhomomorphismus

$\varphi\colon\mathrm{St}(A)\to\mathrm{GL}(A)$

K₂(A) ist nun per Definition der Kern dieser Abbildung $\varphi$ . Man kann zeigen, dass er mit dem Zentrum von St(A) übereinstimmt. K₁ und K₂ sind durch die exakte Sequenz

$1\longrightarrow K_2(A)\longrightarrow\mathrm{St}(A)\longrightarrow\mathrm{GL}(A)\longrightarrow K_1(A)\longrightarrow1$

verbunden.

Für einen (kommutativen) Körper k ist

$K_2(k) = k^\times\otimes_{\mathbb Z} k^\times/\langle a\otimes(1-a)\mid a\not=0,1\rangle.$

Milnors K-Theorie

J. Milnor definierte für einen Körper k "höhere" K-Gruppen durch

$K^M_*(k) := T^*k^\times/(a\otimes (1-a))$ ,

also als graduierte Bestandteile des Quotienten der Tensoralgebra über der abelschen Gruppe k^× nach dem zweiseitigen Ideal, das von den Elementen der Form

$a\otimes(1-a)$

für a ≠ 0,1 erzeugt wird. Für n = 0,1,2 stimmen die milnorschen K-Gruppen mit den oben definierten überein.

Quillens K-Theorie

Die umfassendste Definition einer K-Theorie wurde von D. Quillen angegeben.

Klassifizierende Räume von Kategorien

Für eine kleine Kategorie C sei der Nerv NC definiert als die semisimpliziale Menge, deren p-Simplizes die Diagramme

$X_0\longrightarrow X_1\longrightarrow\ldots\longrightarrow X_p$

sind. Die geometrische Realisierung BC von NC heißt klassifizierender Raum von C.

Quillens Q-Konstruktion

Es sei P eine exakte Kategorie, d.h. eine additive Kategorie zusammen mit einer Klasse E von "exakten" Diagrammen

$M'\longrightarrow M\longrightarrow M'',$

für die gewisse Axiome gelten, die den Eigenschaften kurzer exakter Sequenzen in einer abelschen Kategorie nachgebildet sind.

Zu einer exakten Kategorie P sei nun die Kategorie QP definiert als die Kategorie, deren Objekte dieselben sind wie die von P und deren Morphismen zwischen zwei Objekten M′ und M″ Isomorphieklassen von exakten Diagrammen

$M'\longrightarrow N\longrightarrow M''$

sind.

Die K-Gruppen

Die i-te K-Gruppe von P ist dann definiert durch

K i (P) = π i + 1 (BQ P,0)

mit einem fest gewählten Nullobjekt 0.

$K 0 (P)$ stimmt mit der Grothendieckgruppe von $P$ überein, also mit dem Quotienten der freien abelschen Gruppe über den Isomorphieklassen in $P$ nach der Untergruppe, die von

[M] - [M'] - [M'']

für Diagramme

$M'\longrightarrow M\longrightarrow M''$

in E erzeugt wird.

Für einen unitären Ring A sind die K-Gruppen K_i(A) die eben definierten K-Gruppen der Kategorie der endlich erzeugten projektiven A-Moduln.

Für noethersche unitäre Ringe werden außerdem die Gruppen K′_i(A) definiert als die K-Gruppen der Kategorie aller endlich erzeugten A-Moduln.

Literatur

Daniel Quillen: Higher algebraic K-theory: I. In: H. Bass (Hrsg.): Higher K-Theories. Lecture Notes in Mathematics, vol. 341. Springer-Verlag, Berlin 1973. ISBN 3-540-06434-6