Kampf der Geschlechter
Der Kampf der Geschlechter ist ein Problem aus der Spieltheorie. Die Spieler (Mann und Frau) wollen gemeinsam den Abend verbringen, vergessen aber, sich über den Ort zu einigen. Möglich ist entweder ein Fußballspiel oder ein Konzert. Beide Spieler müssen sich unabhängig voneinander entscheiden. Das Fußballspiel wird vom Mann, das Konzert von der Frau präferiert.
Die Payoff-Matrix für das Spiel sieht folgendermaßen aus:
| Mann\Frau | Fußball | Konzert |
|---|---|---|
| Fußball | (3,1) | (0,0) |
| Konzert | (0,0) | (1,3) |
Geht der Mann also ins Fußballstadion, wäre die beste Wahl der Frau, auch dorthin zu gehen. Umgekehrt gilt das gleiche, daher ist die linke obere Zelle ein Nash-Gleichgewicht. Analog verhält es sich mit der Konzerthalle.
Es gibt also zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien.
Das Problem dieses Spiels ist nun, dass es keine dominanten Strategien gibt. Wenn die beiden Spieler gleichzeitig ihre Lieblingsalternative (Mann geht zum Fußball, Frau ins Konzert.) wählen, kommt es zu keinem Treffen, was für beide nicht optimal ist. Sie würden in diesem Fall doch lieber an den Ort gehen, den der jeweils andere bevorzugt - Hauptsache, sie sind zusammen. Wenn aber beide so denken und dem anderen entgegen kommen möchten, treffen sie sich wieder nicht. Warum haben sie nicht einfach ihre Telefonnummern ausgetauscht?
Sie können also in diesem Fall nur per Zufall entscheiden (randomisieren), welchen Ort sie heute Abend aufsuchen werden. Dafür gibt es ein Gleichgewicht in gemischten Strategien.
Wir stellen eine Von-Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion auf:
Um = Nutzen des Mannes Uf = Nutzen der Frau Fm = Wahrscheinlichkeit, dass der Mann zum Fußball geht. Ff = Wahrscheinlichkeit, dass die Frau zum Fußball geht.
Um = 3*Fm*Ff + 0*Fm*(1-Ff) + 0*(1-Fm)*Ff+ 1(1-Fm)(1-Ff)
= 3FmFf + 1-Ff-Fm+FmFf
= 1 + 4FmFf - Fm - Ff
Uf = 1*Fm*Ff + 0*Fm*(1-Ff) + 0*(1-Fm)*Ff+ 3(1-Fm)(1-Ff)
= FmFf + 3 - 3Ff - 3Fm + 3FmFf
= 3 + 4 FmFf - 3Ff - 3Fm
Die Nutzen der beiden Spieler sollen nun maximiert werden. Das macht man, indem man die Nutzenfunktionen (Um und Uf) nach ihrer jeweiligen "Fußballwahrscheinlichkeit" ableitet und das dann gleich 0 setzt:
dUm/dFm = 4Ff - 1 = 0 <=> Ff = 0,25 dUf/dFf = 4Fm - 3 = 0 <=> Fm = 0,75 (das bedeutet sozusagen Km = 0,25)
Daraus folgt, dass beide in 25% aller Fälle, in denen diese Situation auftritt, den Lieblingsort ihres Partners aufsuchen sollten.
"Battle of the sexes" wird i.d.R. für den Einstieg in die gemischten Strategien gewählt, weil es noch recht einfach zu errechnen ist. Interessant werden die Prozentangaben für gemischte Strategien z.B. beim Tennis oder beim Elfmeterschießen (siehe Dixit/Nalebuff), wo es ebenfalls keine dominanten Strategien gibt, die Wiederholungsrate aber entsprechend hoch ist. Wer nämlich derart viele Dates hat, dass sich gemischte Strategien rechnen, sollte sich vielleicht auch mal eine neue Strategie überlegen...
Siehe auch: Gefangenendilemma, Chicken Game, Hirschjagd, Braess Paradoxon