Kategorientheorie

Die Kategorientheorie oder die kategorielle Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der sich Anfang der 1940er Jahre zuerst im Rahmen der Topologie entwickelte; Saunders MacLane nennt seine 1945 gemeinsam mit Samuel Eilenberg entstandene »General Theory of Natural Equivalences« (in Trans. Amer. Math. Soc., 58, 1945) die erste explizit kategorientheoretische Arbeit. Die Grundbegriffe dieser Theorie sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die anderen eingeführt.

Die Kategorientheorie läßt sich, ähnlich wie die universelle Algebra, als allgemeine Theorie mathematischer Strukturen auffassen. Dabei werden allerdings Eigenschaften mathematischer Strukturen (klassische Strukturen sind z.B. Gruppen, Ringe, Moduln und topologische Räume) nicht über Relationen zwischen Elementen (der Trägermenge(n)) definiert, sondern gleichsam durch Vergleiche (mittels »Morphismen« und »Funktoren«) sowohl innerhalb von als auch zwischen Kategorien.

Diese Art der Abstraktion führt nicht nur zu einer Klärung grundlegender, theorieübergreifender Begriffe, sie ermöglicht es auch, erfolgreiche Methoden und Konzepte einer speziellen mathematischen Theorie auf andere Bereiche und Objektklassen zu übertragen. Ein illustratives Beispiel liefert die Geschichte der homologischen Algebra, deren Methoden zuerst auf abelsche Gruppen beschränkt waren, dann auf Moduln über Ringen verallgemeinert wurden und schließlich, im kategorientheoretischen Gewand der Theorie der abelschen Kategorien, auf abelsche Garben übertragen wurden und da der Konstruktion von Kohomologietheorien, vor allem in der algebraischen Geometrie, dienen.

Die Kategorientheorie ist ebenso für Grundlagenfragen relevant. Topoi, das sind kategorientheoretische Extrakte der Kategorie der Mengen, in der wichtige Eigenschaften von Mengen rein pfeiltheoretisch formuliert werden, stellen eine Alternative zum axiomatischen mengentheoretischen Aufbau der Mathematik dar. Darüber hinaus spielt die Kategorientheorie in der Logik, in der theoretischen Informatik (Semantik von Programmiersprachen, Domaintheorie) und in der theoretischen Physik (topologische Quantenfeldtheorie, TQFT) eine Rolle.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen

2 Beispiele

2.1 Kategorien
2.2 Funktoren
2.3 Natürliche Transformationen

3 Yoneda-Lemma und universelle Konstruktionen

3.1 Das Yoneda-Lemma
3.2 Strukturtransfer
3.3 Spezielle universelle Konstruktionen bzw. Begriffe

4 Anmerkungen

5 Literatur

6 Netz-Verweise

Definitionen

Eine Kategorie C besteht aus den folgenden Daten:

einer Klasse Ob(C) von Objekten
je einer Menge Mor_C(X,Y) zu jedem Paar $(X, Y)$ von Objekten (auch mit Hom_C(X,Y) oder C(X,Y) bezeichnet); ihre Elemente heißen Pfeile oder Morphismen. Diese Mengen sind paarweise disjunkt, d.h. zu einem Morphismus f in Mor(X, Y), auch f: X → Y geschrieben, sind X (Quelle) und Y (Ziel) eindeutig bestimmt. Die Quelle eines Morphismus f wird auch mit dom(f) bezeichnet (englisch domain), das Ziel mit cod(f) (co-domain).
Verknüpfungsabbildungen

$\mathrm{Mor}_C(X,Y)\times\mathrm{Mor}_C(Y,Z)\to\mathrm{Mor}_C(X,Z),\quad (f,g)\mapsto g\circ f,$

die im offensichtlichen Sinne assoziativ sind:

$(h\circ g)\circ f = h\circ(g\circ f).$

einem Identitätsmorphismus id_X: X → X zu jedem Objekt X, der neutrales Element für die Verknüpfung mit Morphismen mit Quelle oder Ziel X ist.

Die Klasse aller Morphismen wird auch mit Fl(C) bezeichnet.

Eine Unterkategorie einer Kategorie C ist eine Kategorie D, so dass Ob(D) eine Teilklasse von Ob(C) ist und für je zwei Objekte X und Y in D die Morphismenmenge Mor_D(X,Y) Teilmenge von Mor_C(X,Y) ist. Sind die Morphismenmengen von D gleich denen von C, ist D eine volle Unterkategorie. Eine volle Unterkategorie ist schon durch die Angabe der Objekte bestimmt.

Die duale Kategorie C^op zu einer Kategorie C ist die Kategorie mit Ob(C^op) = Ob(C) und

$\mathrm{Mor}_{C^{\mathrm{op}}}(X,Y)=\mathrm{Mor}_C(Y,X)$ .

Die Verknüpfungsabbildungen und Identitätsmorphismen sind dieselben wie in C. Anschaulich gesagt zeigen in C^op alle Pfeile in die andere Richtung. Die Kategorie (C^op)^op ist gleich C.

Ein (kovarianter) Funktor ist so etwas wie eine Abbildung zwischen Kategorien. Ein Funktor F von einer Kategorie C in eine Kategorie D besteht aus den folgenden Daten:

eine Zuordnung F: Ob(C) → Ob(D)
Abbildungen F: Mor_C(X,Y) → Mor_D(F(X),F(Y)) für je zwei Objekte X, Y von C.

Die Abbildungen zwischen den Morphismenmengen müssen folgende Eigenschaften haben:

Sie sind kompatibel mit Verknüpfungen, d.h. F(fg) = F(f)F(g).
Sie erhalten Identitätsmorphismen: F(id_X) = id_F(X).

Ein kontravarianter Funktor (oder Kofunktor) von C nach D ist ein Funktor C^op → D. Äquivalent dazu ist die Beschreibung wie oben, mit den folgenden Unterschieden:

Die Abbildungen auf den Morphismenmengen gehen von Mor_C(X,Y) nach Mor_D(F(Y),F(X)).
Die Kompatibilität mit den Verknüpfungen lautet F(fg) = F(g)F(f).

Sind C,D,E Kategorien und F: C → D sowie G: D → E ko- oder kontravariante Funktoren, so ist die Verkettung GF, die formal durch

$(G\circ F)(X)=G(F(X)),\quad (G\circ F)(f)=G(F(f))$

für Objekte X und Morphismen f definiert ist, ein Funktor C → E. GF ist genau kovariant, wenn F und G beide ko- oder beide kontravariant sind, andernfalls kontravariant.

Natürliche Transformationen sind so etwas wie Abbildungen zwischen Funktoren. Sind F und G Funktoren von C nach D, so besteht eine natürliche Transformation t von F nach G aus Morphismen t_X: F(X) → G(X) für jedes Objekt X von C, so dass für jeden Morphismus f: X → Y zwischen Objekten von C das folgende Diagramm kommutiert

Bild:Natürliche Transformation.png

Als Formel bedeutet das: t_Y F(f) = G(f) t_X.

Natürlich äquivalent sind zwei Funktoren F und G von C nach D, wenn es natürliche Transformationen t: F → G und u: G → F gibt, so dass tu und ut jeweils die Identität sind. Anders formuliert: natürliche Äquivalenz ist der Isomorphiebegriff in der Funktorkategorie. Eine natürliche Transformation t ist eine natürliche Äquivalenz genau dann, wenn t_X für jedes X ein Isomorphismus ist.

Äquivalenz von Kategorien: Ein Funktor F: C → D heißt eine Äquivalenz von Kategorien, wenn es einen Funktor G: D → C gibt, so dass FG und GF jeweils natürlich äquivalent zur Identität von D bzw. C sind. Man kann zeigen, dass Äquivalenzen von Kategorien genau die volltreuen, wesentlich surjektiven Funktoren sind.

Beispiele

Kategorien

Hinweis: die Bezeichnungen für spezielle Kategorien sind in der Literatur extrem uneinheitlich. Oft wird eine Beschreibung der Kategorie in runde oder geschweifte Klammern gesetzt, z.B. (Gruppen).

Set oder Ens, die Kategorie der Mengen:
- Ob(Ens) ist die Klasse aller Mengen
- zu zwei Mengen X,Y ist Mor_Ens(X, Y) die Menge der Abbildungen von X nach Y
- die Verknüpfung zweier Morphismen ist die Verkettung der Mengenabbildungen
- der Identitätsmorphismus eines Objektes X ist die identische Abbildung X → X.

Top, die Kategorie der topologischen Räume (Objekte) und stetigen Abbildungen (Morphismen). Eine interessante Unterkategorie ist beispielsweise die volle Unterkategorie der kompakten Hausdorffräume.

die Kategorie Grp der Gruppen mit den Gruppenhomomorphismen als Morphismen; weiter die volle Unterkategorie der abelschen Gruppen, die sehr konsequent mit Ab bezeichnet wird.

die Kategorie NLinSp der normierten linearen Räume mit den stetigen (=beschränkten) linearen Abbildungen. Unterkategorien sind z.B.: die Banachräume mit stetigen linearen Abbildungen (BanSp₁), die Banachräume mit stetigen normreduzierenden Abbildungen (BanSp₂), oder kommutative komplexe Banachalgebren mit Einheit und normreduzierenden Algebrenhomomorphismen (CBanAlg).

Eine Menge mit einer Halbordnung $(X,\le)$ bestimmt eine Kategorie: Objekte sind die Elemente der Menge, und Mor(a,b) habe genau ein Element (z.B. das geordnete Paar (a,b)), falls $a\le b$ , und sei andernfalls leer.

Die Kategorie der kleinen Kategorien (Cat): Eine Kategorie heißt klein, wenn die Klasse ihrer Objekte eine Menge ist. Die Objekte von Cat sind die kleinen Kategorien und die Morphismen sind die Funktoren. (Die Beschränkung auf kleine Kategorien ist aus mengentheoretischen Gründen nötig.)

Sind C und D Kategorien, so kann man die Funktorkategorie Mor(C,D) bilden: Objekte sind Funktoren von C nach D, Morphismen sind natürliche Transformationen.

Ist C eine Kategorie und S ein Objekt von C, so ist die Kategorie C/S der Objekte über S wie folgt definiert: Objekte von C/S sind Morphismen in C mit Ziel S, und Morphismen von C/S sind Morphismen von C, die mit den "Strukturmorphismen" nach S verträglich sind, d.h. sind f: X → S und g: Y → S zwei Objekte von C/S, so sind Morphismen von (X,f) nach (Y,g) in C/S die Morphismen h von X nach Y, für die gh = f gilt.

Umgekehrt sei * ein fester einpunktiger topologischer Raum. Dann ist die Kategorie der topologischen Räume unter * isomorph zur Kategorie Top^* der punktierten topologischen Räume.

Funktoren

Meist gibt man für Funktoren nur die Zuordnung der Objekte an, wenn die Abbildungen auf den Morphismenmengen daraus leicht zu ersehen sind.

Für ein Objekt T einer Kategorie C ist die Zuordnung

X $\mapsto$ Mor_C(T,X)

ein (kovarianter) Funktor C → Set. Der Funktor

X $\mapsto$ Mor_C(X,T)

ist kontravariant.

Es sei $K$ ein Körper und $Vekt K$ die Kategorie der Vektorräume über $K$ mit den $K$ -linearen Abbildungen als Morphismen. Es sei nun ein kontravarianter Funktor

$D\colon\mathrm{Vekt}_K\to\mathrm{Vekt}_K$

wie folgt definiert:

Für ein Objekt $V$ ist $D (V) = V * = Hom K (V, K)$ der Dualraum von $V .$
Für eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ ist

$D(f)\colon W^*\to V^*,\quad\lambda\mapsto\lambda\circ f.$

Man überprüft leicht, dass $D(f\circ g)=D(g)\circ D(f)$ und $D(\mathrm{id}_V)=\mathrm{id}_{V^*}$ gilt.

G_m: (Ringe) → (Gruppen): ordnet einem unitären Ring seine Gruppe der Einheiten zu. Allgemeiner: GL_n: (Ringe) → (Gruppen): ordnet einem Ring die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen zu.
Die Fundamentalgruppe ist ein Funktor Top → Grp; die höheren Homotopie- sowie die Homologiegruppen sind Funktoren Top → Ab; die Kohomologiegruppen sind kontravariante Funktoren Top → Ab.
Vergissfunktoren: Es gibt offensichtliche Funktoren Ab → Set, Ab → Grp, Top → Set usw., die einfach einen Teil der Struktur "vergessen", d.h. einer abelschen Gruppe die zugrundeliegende Menge, einer abelschen Gruppe sich selbst (aber ohne die Information, dass sie abelsch ist), einem topologischen Raum die zugrundeliegende Menge usw. zuordnen.

Natürliche Transformationen

Die Bezeichnungen seien wie im Beispiel des Funktors "Dualraum" oben. Die Abbildungen

$\tau_V\colon V\to V^{**},\quad v\mapsto(\lambda\mapsto\lambda(v))$

eines Vektorraumes in seinen Bidualraum bilden eine natürliche Transformation

$\tau\colon\mathrm{id}_{\mathrm{Vekt}_K}\to D\circ D.$

Auf der vollen Unterkategorie der endlichdimensionalen Vektorräume ist

τ

eine natürliche Äquivalenz.

det: GL_n → G_m: Für einen Ring R ist det_R der Gruppenhomomorphismus GL_n(R) → R^×, die Determinante.
Die Hurewicz-Abbildung

$\pi_k(X)\to H_k(X,\mathbb Z)$

Das Cupprodukt in der Kohomologie.
Die Abelisierung einer Gruppe

$G\to G^{\mathrm ab}:=G/[G,G]$

Yoneda-Lemma und universelle Konstruktionen

Universelle Konstruktionen übertragen einfache Begriffe aus der Kategorie der Mengen auf beliebige Kategorien.

Das Yoneda-Lemma

Es sei C eine Kategorie. Der Funktor

$h\colon C\to\mathbf{Mor}(C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}),$

der einem Objekt X den Funktor

$h_X\colon T\mapsto\mathrm{Mor}_C(T,X)$

zuordnet, ist volltreu. Allgemeiner gilt für Objekte X von C und F von Mor(C^op,Set):

$\mathrm{Mor}_{\mathbf{Mor}(C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set})}(h_X,F)=F(X)$ ;

einer natürlichen Transformation t: h_X → F wird dabei t_X(id_X) zugeordnet (man beachte h_X(X) = Mor_C(X,X)).

Strukturtransfer

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen. Beispielsweise kann man ein Produkt von Objekten X_i definieren als ein Objekt P, für das h(P) objektweise das kartesische Produkt der h(X_i) ist, d.h. dass

$\mathrm{Mor}(T,P) \cong \prod\mathrm{Mor}(T,X_i)$

gilt; dabei meint $\cong$ eine natürliche Äquivalenz von Funktoren in T. Diese Äquivalenz liefert für T = P als Entsprechung von id_P auch Morphismen pr_i: P → X_i. Das Yoneda-Lemma zeigt dann, dass P bis auf kanonische Isomorphie eindeutig bestimmt ist: sind Mor(_,P) und Mor(_,Q) via t natürlich äquivalente Funktoren, so sind P und Q via t_P(id_P) isomorph.

"Universell" ist dieses kategorielle Produkt in dem folgenden Sinn: wann immer man Abbildungen f_i: T → X_i gegeben hat, kommen diese von den universellen Abbildungen pr_i: P → X_i her, d.h. es gibt eine Abbildung c: T → P, so dass f_i → pr_i c gilt.

Außerdem kann man zu jeder derart gewonnenen Konstruktion die duale Konstruktion bilden (meist durch eine Vorsilbe "Ko" gekennzeichnet), indem man zur dualen Kategorie übergeht. Beispielsweise ist das Koprodukt von Objekten X_i in einer Kategorie C dasselbe wie das Produkt derselben Objekte X_i in der dualen Kategorie C^op.

Entsprechend können auch Eigenschaften von Mengenabbildungen auf beliebige Kategorien übertragen werden: beispielsweise ist ein Morphismus X → Y ein Monomorphismus, wenn h(X) → h(Y) objektweise injektiv ist. Man beachte: Epimorphismus ist der duale Begriff zu Monomorphismus, jedoch die Entsprechung zu surjektiven Mengenabbildungen ist der Begriff Retraktion.

Spezielle universelle Konstruktionen bzw. Begriffe

Anmerkungen

Zu einem anderen allgemeinen Zugang zu mathematischen Strukturen siehe Algebraische Struktur.

Mathematical Subject Classification (2000): 18-XX (mit homologischer Algebra in 18Gxx)

Siehe auch: Homologische Algebra sowie Kategorie (Allgemeinbegriff) und Kategorie in der Philosophie

Literatur

Einführungen sind:

F. W. Lawvere, S. H. Schanuel: Conceptual Mathematics. A first introduction to categories, Cambridge, 1997. ISBN 0-521-47817-0 (hardback ISBN 0-521-47249-0)
Michael A. Arbib, Ernest G. Manes: Arrows, Structures and Functors. The Categorical Imperative, Academic Press, 1975.

Klassische Lehrbücher sind:

J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker: Abstract and concrete categories, John Wiley (1990)
MacLane, Saunders: Kategorien : Begriffssprache und mathematische Theorie, Berlin, 1972, vii, 295 pp. -- (Categories for the Working Mathematician <1971, dt.>) vergriffen engl. Ausgabe ISBN 0-387-98403-8
Herrlich, Horst; Strecker, George E.: Category Theory. An Introduction, Boston, 1973

Ein Nachschlagewerk ist:

Borceux, Francis: Handbook of categorical algebra, 3 vol (1: Basic category theory; 2: Categories and structures; 3: Categories of sheaves). -- Cambridge, 1994. (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50/52) ISBN 0-521-44178-1, 0-521-44179-X, 0-521-44180-3

Ein Sammelband ist:

W Gähler & G Preuss : Categorical Structures and their Applications, World Scientific, 2004. ISBN 981-256-053-X