Kettenbruch

Kettenbrüche sind eine eindeutige Darstellungsform der reellen Zahlen. Ein Kettenbruch ist definiert als ein Bruch der Form:

$a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\cdots}}}$

Dabei ist $a 0$ eine ganze Zahl und

$a_1,a_2,\cdots$

sind natürliche Zahlen ungleich Null.

Eine alternative Schreibweise für Kettenbrüche ist $[a_0; a_1, a_2, \dots]$

Dabei unterscheiden wir endliche Kettenbrüche, periodisch unendliche und nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche.

Inhaltsverzeichnis

1 Endlicher Kettenbruch

2 Unendliche Kettenbrüche

2.1 Periodisch unendliche Kettenbrüche

2.1.1 Weitere Beispiele

2.2 Nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche

3 Historisches und Anwendungen

3.1 Zur Geschichte der Kettenbrüche
3.2 Anwendungen

4 Weblinks

5 Literatur

Endlicher Kettenbruch

Ein endlicher Kettenbruch hört nach dem $n$ -ten Glied auf, hat also die Form:

$a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\cdots \frac{1}{a_n}}}$

Ein endlicher Kettenbruch beschreibt eine rationale Zahl. Umgekehrt lässt sich auch jede rationale Zahl als endlicher Kettenbruch darstellen. Das lässt sich über den euklidschen Algorithmus realisieren:

Ein Bruch $\frac{a}{b}$ lässt sich wie folgt zerlegen:

a = q₀ · b + r₂

b = q₁ · r₂ + r₃

r₂ = q₂ · r₃ + r₄

r_n = q_n · r_n+1 + r_n+2

r_o = q_o · r_o+1 + 0

Der Bruch wird dann nach folgendem Schema in einen Kettenbruch umgewandelt:

$\frac{a}{b} = q_0 + \frac{r_2}{b} = q_0 + \frac{1}{\frac{b}{r_2}} = q_0 + \frac{1}{q_1 +\frac{r_3}{r_2}} = ...$

Beispiel $\frac{13}{5}$ :

13 = 2 · 5 + 3

5 = 1 · 3 + 2

3 = 1 · 2 + 1

2 = 2 · 1 + 0

$\frac{13}{5} = 2 + \frac{3}{5} = 2 + \frac{1}{\frac{5}{3}} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{3}{2}}} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$

In der alternativen Schreibweise ist $\frac{13}{5} = [2;1,1,2]$

Unendliche Kettenbrüche

Ein unendlicher Kettenbruch beschreibt eine irrationale Zahl und umgekehrt hat jede irrationale Zahl eine unendliche Kettenbruchentwicklung.

Periodisch unendliche Kettenbrüche

Periodische unendliche Kettenbrüche beschreiben irrationale algebraische Zahlen, die Lösungen von ganzzahligen quadratischen Gleichungen sind. Umgekehrt lässt sich jede irrationale Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten als periodischer unendlicher Kettenbruch darstellen.

Dass die erste dieser Behauptungen leicht zu zeigen ist, sei an einem Beispiel demonstriert: Wenn x etwa der periodische Kettenbruch

$x= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + ...}}}}$

ist, dann gilt

$x= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{x}}} = \cdots = \frac{10x+3}{7x+2}$

woraus $7 x 2 - 8 x + 3 = 0$ folgt.

Weitere Beispiele

Der unendliche Kettenbruch für den Goldenen Schnitt ist:

$\frac12(1+\sqrt{5}) = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}.$

Der unendliche Kettenbruch für die Quadratwurzel aus 2 ist:

$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + ...}}}}.$

Nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche

Jeder nichtperiodisch unendliche Kettenbruch stellt eine irrationale Zahl dar, die sich nicht als Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt. Umgekehrt lässt sich jede solche Zahl (insbesondere jede transzendente Zahl) als nichtperiodischer Kettenbruch schreiben.

Der unendliche Kettenbruch für die Eulersche Zahl e:

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots].$

wobei sich das hier erkennbare Muster bis ins Unendliche fortsetzt.

Der Kettenbruch zu Kreiszahl $π$ hat kein erkennbares Muster:

$\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots]$

Es existiert jedoch ein sehr regelmäßiger, aber nicht mehr regulärer Kettenbruch für $π$ :

$\pi = \frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{\cdots}}}}$

Ebenfalls nichtperiodisch ist beispielweise der Kettenbruch für die dritte Wurzel von 2:

$\sqrt[3]{2}$ $= [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, \dots]$

Historisches und Anwendungen

Zur Geschichte der Kettenbrüche

Die Theorie der Kettenbrüche entwickelte sich aus dem Bedürfnis heraus, Brüche oder schwer fassbare Zahlen zu approximieren. Beispielsweise berechnete Christiaan Huygens damit aus den Umlaufzeiten der Planeten das Übersetzungsverhältnis der Zahnräder für sein Zahnradmodell des Sonnensystems. Huygens musste für die Bewegung des Saturns das Verhältnis $\frac{77.708.491}{2.640.858}=[29;2,2,1,5,1,4,1,1,2,1,6,1,10,2,2,3]$ berechnen. Der relative Fehler ist hierbei 0,01 %. Auch zur Festlegung von Schaltjahren kann man Kettenbruchnäherungen benutzen. Fast alle Kulturen nutzen sie zur Erstellung von Zeitrechnungstafeln und Kalendern. Und auch die wichtige Kreiszahl π wussten die Chinesen schon durch Brüche anzunähern. Natürlich ist im Zeitalter des Computers die näherungsweise Berechnung der Kreiszahl oder anderer irrationaler Zahlen problemlos machbar; eine extrem genaue Approximation ist jedoch selten sinnvoll.

Anwendungen

Die Kettenbruchmethode, ein Faktorisierungsverfahren für ganze Zahlen $n$ , die keine Quadratzahl sind, basiert auf der Kettenbruchzerlegung von $\sqrt{n}$ .
Kettenbrüche sind manchmal recht angenehm, um etwas zu zeigen, beispielweise um algebraische Zahlen von transzendenten Zahlen zu unterscheiden.
Kettenbrüche werden benützt um rationale Näherungen an eine vorgegebene reelle Zahl zu berechnen, d.h. die betreffende Zahl durch Brüche anzunähern, deren Zähler und Nenner für die erzielte Genauigkeit der Darstellung möglichst klein sind. Man kann zeigen, dass die teilweise Auswertung der Kettenbruchdarstellung einer reellen Zahl einen Bruch liefert, der in dem Sinne die genaueste mögliche rationale Annäherung an den Kettenbruch ist, als man die Annäherung nur genauer machen kann, wenn man den Nenner grösser macht.

Beispiel: die oben angeführte Kettenbruchdarstellung für

$\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots]$

liefert nacheinander mit zunehmendem Nenner und zunehmender Genauigkeit für

π

die Näherungswerte

3

, $\frac{22}{7} \approx 3.143$ , $\frac{333}{106} \approx 3.14151$ , $\frac{355}{113} \approx 3.1415929$ , $\frac{103'993}{33'102} \approx 3.1415926530$ , usw.

Diese sind abwechslungsweise ein bisschen zu klein und ein bisschen zu gross, wobei der absolute Fehler immer kleiner wird.

Kettenbrüche eignen sich aber kaum zur Berechnung, da keine schnellen Algorithmen zur Berechnung der Summe, Differenz, Produkt oder Quotient zweier Zahlen in Kettenbruchdarstellung bekannt sind, und es für die Berechnung transzendenter und algebraischer Zahlen effektivere und schneller konvergierende Verfahren gibt.

Weblinks

Arbeit von Bill Gosper
Kettenbrüche online berechnen auf den Matheseiten von Arndt Brünner

Literatur

Perron, Oskar: Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig, Berlin, 1913
Perron, Oskar: Die Lehre von den Kettenbrüchen, Teubner, 3. verb. u. erw. Aufl., Stuttgart, Band 1: Elementare Kettenbrüche (1954), Band 2: Analytisch-funktionstheoretische Kettenbrüche (1957)