Kinetische Energie

Die kinetische Energie oder auch Bewegungsenergie ist die Energie, die in der Bewegung eines Körpers enthalten ist. Sie ist abhängig von der Ruhemasse m0 und der Geschwindigkeit v des Körpers.

Inhaltsverzeichnis
1 Die kinetische Energie in der klassischen Physik

1.1 Kinetische Energie und der Energieerhaltungssatz

2 Die kinetische Energie in der modernen Physik

2.1 Herleitung der relativistischen kinetischen Energie

Die kinetische Energie in der klassischen Physik

In der klassischen Physik ist die aus der kinetischen Energie resultierende Kraft F, die auf einen Körper einwirkt, gleich der zeitlichen Änderung seines Impulses p, also des Produktes aus Masse und Geschwindigkeit. Die durch diese Kraft verrichtete Arbeit ist gleich der Änderung der kinetischen Energie des Körpers. Damit gilt für die kinetische Energie:

E_{kin}=\int_{0}^{v} F\cdot\, \mathrm d s = \int_{0}^{v} \frac{\mathrm d p}{\mathrm d t}\cdot\, \mathrm d s

Wegen \frac{\mathrm d s}{\mathrm d t} = v und p = m_0v \! gilt:

E_{kin} = \int_{0}^{v} \frac{\mathrm d s}{\mathrm d t} \cdot \mathrm d p = \int_{0}^{v} v \cdot\, \mathrm d p = \int_{0}^{v} v\cdot\, \mathrm d (m_0v).

Nun schreibt man \mathrm d (m_0v) \! so um, dass man nach der Geschwindigkeit v integrieren kann, die gesuchte Größe sei dabei mit x bezeichnet:

\mathrm d(m_0v)=x \cdot \mathrm dv \Leftrightarrow \frac{\mathrm d}{\mathrm dv}(m_0v)= x = m_0 \Rightarrow \mathrm d(m_0v)=m_0\cdot \mathrm dv

Dies beinhaltet die Annahme, dass die Masse unabhängig von der Geschwindigkeit ist und man sie daher aus dem Integral als Konstante herausnehmen kann. Somit erhalten wir für unser Integral:

E_{kin}= \int_{0}^{v} m_0v \cdot \, \mathrm dv = m_0 \int_{0}^{v} v \cdot \, \mathrm dv = \frac{1}{2}m_0v^2.

Da bei den meisten Bewegungen Reibung nicht vermieden werden kann, verliert ein antriebsloser bewegter Körper ständig an Geschwindigkeit, weil durch Gleitreibung, Rollreibung und / oder Luftreibung die kinetische Energie nach und nach in Wärmeenergie umgewandelt wird. Ist die Umwandlung vollständig, kommt die Bewegung zum Stillstand. Will man eine Verlangsamung der Bewegung, also den Verlust an Bewegungsenergie verhindern, so muss dem System durch einen Antrieb, beispielsweise einen Elektromotor oder einen Verbrennungsmotor, Energie zum Ausgleich des Reibungsverlusts zugeführt werden.

Kinetische Energie und der Energieerhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System ohne Energieaustausch mit der Umgebung und unter Vernachlässigung jedweder Reibung, gilt zu jedem Zeitpunkt der Energieerhaltungssatz der klassischen Mechanik:

E_{pot} + E_{kin} = {konstant} = E_{ges} \!

In Worten: Die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie, einschließlich der Rotationsenergie, ist konstant und entspricht der Gesamtenergie des mechanischen Systems.

Die kinetische Energie in der modernen Physik

Im Jahre 1905 zeigte Albert Einstein in seiner speziellen Relativitätstheorie, dass die klassische Beziehung der kinetischen Energie nur für Geschwindigkeiten gilt, die sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind, da die Masse eines Körpers sich mit höherer Geschwindigkeit scheinbar erhöht. Daher gilt nach der Speziellen Relativitätstheorie eine andere Beziehung:

E_{kin}= E - E_0 = m(v) c^2 - m_0 c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0 c^2 = m_0 c^2\left(\frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) = m_0 c^2\left(\gamma - 1\right)

Hierbei ist m(v) die relativistische Masse des Körpers bei der Geschwindigkeit v; c die Lichtgeschwindigkeit und m0 die Ruhemasse ist. Für m(v) gilt:

m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}}=m_0\gamma mit \gamma=\frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}}

thumb|250px|left|relativistische und klassische kinetische Energie im Vergleich


Da eine größere Masse eine höhere Energie nach sich zieht, steigt die kinetische Energie im Gegesatz zur Aussage der klassischen Physik nicht parabolisch, sondern hyperbolisch, an; bewegt sich ein Körper nahe der Lichtgeschwindigkeit, so strebt der Betrag der kinetischen Energie gegen unendlich. Insbesondere ist es aus diesem Grund für einen massebehafteten Körper nicht möglich sich mit Lichtgeschwindigkeit zu bewegen, da eine unendliche Energie notwendig wäre, um diesen Bewegungszustand zu erreichen.
Bei Geschwindigkeiten, die kleiner als 0,1 c sind, ist dieser Effekt hingegen vernachlässigbar gering und so kann die klassische Beziehung als eine gute Näherung verwendet werden.

Das links abgebildete Diagramm zeigt die Graphen der relativistischen (1) sowie der klassischen (2) Beziehung für einen Körper der Masse von einem Kilogramm.


Die kinetische Energie ist keine Lorenzinvariante und insofern vom Bezugssystem abhängig.

Herleitung der relativistischen kinetischen Energie

Um die relativistische Beziehung der kinetischen Energie zu erhalten, kann man ebenso vorgehen wie bei der Herleitung der klassischen Beziehung. In diesem Fall fasst man aber die resultierende Kraft F, die auf einen Körper einwirkt, als die zeitliche Änderung seines relativistischen Impulses p und die durch diese Kraft verrichtete Arbeit als die Änderung der relativistischen kinetischen Energie des nämlichen Körpers auf. Es gilt also zunächst ganz analog zum klassichen Fall:

E_{kin} = \int_{0}^{v} F\cdot\, \mathrm ds=\int_{0}^{v} \frac{\mathrm dp}{\mathrm dt}\cdot\, \mathrm ds

Nun gilt aber für den relativistischen Impuls p=\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} und damit

E_{kin} = \int_{0}^{v} v\cdot\, \mathrm dp=\int_{0}^{v} v\cdot\, \mathrm d\left(\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right).

Nun schreibt man dp so um, dass man nach der Geschwindigkeit v integrieren kann, die gesuchte Größe sei dabei mit x bezeichnet

\mathrm d \left(\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) = x \cdot \mathrm dv \Leftrightarrow \frac{\mathrm d}{\mathrm dv}\left(\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dv}\left(m_0v\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)= x
\frac{\mathrm d}{\mathrm dv}\left(m_0v\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right) = m_0\left(-\frac{1}{2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}v\left(-\frac{2v}{c^2}\right)+\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right), siehe Kettenregel und Produktregel.
m_0\left(\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}\frac{v^2}{c^2}+\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right) = m_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1}\frac{v^2}{c^2}+1\right)
m_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{v^2}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)c^2}+1\right) = m_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{v^2}{c^2-v^2}+1\right)
m_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{v^2+c^2-v^2}{c^2-v^2}\right) = m_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{c^2}{c^2-v^2}\right) = m_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{c^2}{c^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}\right)
m_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1} = m_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}} \Rightarrow \mathrm d\left(\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) = m_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}\mathrm dv

Somit erhalten wir für unser Integral

E_{kin}=\int_{0}^{v}v \cdot m_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}\mathrm dv = m_0\int_{0}^{v}v \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}\mathrm dv

Es ist klar, dass der Ausdruck \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}} durch Ableitung von \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}} entstehen kann. Nehmen wir diese als Stammfunktion an, so haben wir

\frac{\mathrm d}{\mathrm dv}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}\frac{(-2v)}{c^2} = \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}\frac{v}{c^2}

Multiplizieren wir diesen Term mit c2, so ergibt sich gerade wieder der Integrand. Damit derselbe diese Form annimmt, klammern wir c2 aus und erhalten schließlich

E_{kin} = m_0c^2\int_{0}^{v}\frac{v}{c^2} \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}dv=m_0c^2\left[\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right]^{v}_{0}=m_0c^2\left[\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right]^{v}_{0}
E_{kin} = m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) = \frac{m_0c^2}{\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}}-m_0c^2 = m_0 c^2\left(\gamma - 1\right)


Insbesondere ist hierbei der Klammerausdruck

c^2\left(\frac{m_0}{\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}}-m_0\right)

lediglich die Differenz der relativistischen Masse und der Ruhemasse - das Ergebnis des gesamten Ausdrucks besitzt jedoch die Dimension einer Energie. Da die Massendifferenz nur mit c2 multipliziert wird, stellt sich heraus, dass das Produkt m0c2 die Energie darstellt, welche der Körper schon besaß, ehe er die kinetische Energie aufgenommen hat.

Aus diesem Grund beträgt die Ruheenergie E0 eines Körpers

E_0=m_0c^2 \!


Da c2 lediglich die Proportionalitätskonstante dieser Beziehung darstellt, ist hieraus ersichtlich, dass Energie und Masse in Wirklichkeit dasselbe sind und ineinander umgewandelt werden können. Die kinetische Energie eines Körpers ist damit also gerade diejenige Energie, welche der relativistischen Massenzunahme entspricht und umgekehrt. Kurz ist damit

E_{Kin}=E-E_0 \!


wobei E gegenüber der Ruheenergie entsprechend die relativistische Energie darstellt, mit

E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}


Siehe auch: Äquivalenz von Masse und Energie, Potenzielle Energie, Rotationsenergie

See also: Kinetische Energie, Abgeschlossenes System, Albert Einstein, Antrieb (Technik), Arbeit, Elektromotor, Energie, Energieerhaltungssatz, Geschwindigkeit, Gleitreibung