Komposition (Mathematik)
Der Begriff der Komposition bezieht sich in der Mathematik meist auf die Hintereinanderschaltung von Funktionen. Zu dem Begriff Komposition existieren als Synonyme die Begriffe Verkettung und Konkatenation.
Die Komposition ist punktweise definiert: Seien A, B, C beliebige Mengen und f: A → B und g: B → C Funktionen mit den angegebenen Definitions- und Zielmengen. Dann ist die Komposition g ◊ f eine Funktion von A nach C, definiert durch die Vorschrift:
Alternative Schreibweisen für g ◊ f sind u.a. g o f und gf, ausgesprochen wird es als g hinter f oder g nach f.
Der Begriff der Komposition kann von Funktionen auf Relationen verallgemeinert werden.
Algebraische Eigenschaften
right|Diagramm zur Verkettung von Funktionen
Die Komposition von Funktionen ist immer assoziativ, d.h. für Funktionen f, g und h gilt:
da
- (h ◊ (g ◊ f))(x) = h((g ◊ f)(x)) = h(g(f(x)))
- ((h ◊ g) ◊ f)(x) = (h ◊ g)(f(x)) = h(g(f(x)))
Die Komposition von Funktionen ist im allgemeinen nicht kommutativ; beispielsweise gilt für die Funktionen q(x):=x·x und a(x):=x+1:
- (q ◊ a)(2) = q(a(2)) = q(3) = 9
- (a ◊ q)(2) = a(q(2)) = a(4) = 5
Algebraische Strukturen
Wird die Menge F(A) aller Funktionen aus einer gegebenen Menge A auf sich selbst betrachtet, so definiert die Komposition eine innere Verknüpfung auf F(A), bezüglich derer F(A) (mit der identischen Abbildung als neutrales Element) ein so genanntes Monoid darstellt.
Werden nur bijektive Funktionen herangezogen, ist das Monoid sogar eine Gruppe mit der jeweiligen Umkehrfunktion als inverses Element. Falls die Menge A endlich ist, handelt es sich um eine symmetrische Gruppe.