Kontinuitätsgleichung

Die Kontinuitätsgleichung beschreibt das Verhalten der Dichte in einem Volumenelement. Ihre Hauptaussage ist, dass die Quelle eines Flusses von Objekten die zeitliche Änderung ihrer Dichte ist. Sie findet Anwendung in der Quantenmechanik, Elektrodynamik, Fluiddynamik und vielen anderen Bereichen der Physik.

Inhaltsverzeichnis
1 Allgemein
2 Fluiddynamik
3 Elektrotechnik
4 Quantenmechanik

Allgemein

Die Kontinuitätsgleichung lautet:

\frac{d\rho}{dt}+\rho\nabla\vec{u}=0 oder \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla(\rho\vec{u})=0

mit

t = Zeit
ρ = Dichte
\vec{u} = Geschwindigkeit

Die Kontinuitätsgleichung setzt sich zusammen aus der zeitlichen Änderung der Dichte im gesamten Volumenelement:

\frac{\partial\rho}{\partial t}dxdydz

und dem Zu- und Abfluss in das Volumen, hier nur für die x-Richtung, analog in y- und z-Richtung:

\underbrace{dydz(\rho u)}_{\mbox{Zufuhr}}-\underbrace{\left[\rho u+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}dx\right]dydz}_{\mbox{Abfluss}}=\frac{\partial \rho u}{\partial x}\partial x\partial y\partial z

damit ergibt sich für die Änderung der Dichte im Volumenelement insgesamt:

\frac{\partial \rho }{\partial t}\partial x\partial y\partial z+\left(\frac{\partial \rho u}{\partial x}+\frac{\partial \rho v}{\partial y}+\frac{\partial \rho w}{\partial z}\right)\partial x\partial y\partial z=0

oder, denn \frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\vec{u}\nabla{\rho} und \nabla \cdot({\vec{u}\rho})=\vec{u}\nabla{\rho}+\rho\nabla \vec{u} (siehe Rechenregeln für Nabla-Operator):

\frac{\partial \rho }{\partial t}+\vec{u}\nabla{\rho}+\rho\nabla \vec{u}=\frac{d\rho}{dt}+\rho\nabla\vec{u}=0

Fluiddynamik

In der Fluiddynamik bedeutet sie, dass die Divergenz (Mathematik) des Geschwindigkeitsvektorfeldes die zeitliche Änderung der Dichte ist, also hinreichend genau null in Flüssigkeiten und (im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit) langsam strömenden Gasen. Anschaulich ausgedrückt: Eine Flüssigkeit oder ein Gas kann nur so strömen, dass ein Volumenelement, das stets aus denselben Teilchen besteht, seine Masse beibehält.

Elektrotechnik

In der Elektrotechnik wird die Kontinuitätsgleichung für Ladungsträger (z.B. in Halbleitern, insb. bei Halbleiterübergängen) werwendet. Hier lautet sie entsprechend:

\frac{d\rho}{dt} = div(\vec{J}) -r + g

mit

ρ = Raumladungsdichte
\vec{J} = Stromdichte
r = Rekombinationsrate
r = Generationsrate

Anschaulich bedeutet das, dass die Ladungsträgerdichte sich entweder durch eine räumliche Änderung der Stromdichte, durch Rekombination oder durch Generation ändert. Im "eingeschwungenen Zustand", d.h. nach dem Ausklingen aller Ausgleichsvorgänge, ist die Ladungsträgerdichte konstant, d.h. \frac{d\rho}{dt} = 0

Quantenmechanik

In der Quantenmechanik gilt eine Kontinuitätsgleichung für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte, die durch die Wellenfunktion bestimmt ist. Siehe hierzu den Artikel zur Wahrscheinlichkeitsstromdichte in der Quantenmechanik. Kategorie:Theoretische Physik

See also: Kontinuitätsgleichung, Dichte, Divergenz (Mathematik), Elektrodynamik, Fluiddynamik, Flüssigkeit, Gas, Geschwindigkeit, Halbleiter, Ionisation