Körper (Algebra)

Körper

berührt die Spezialgebiete

Mathematik

ist Spezialfall von

additive Abelsche Gruppe
multiplikative Abelsche Gruppe
kommutativer Ring
Schiefkörper
Vektorraum

umfasst als Spezialfälle

Ein Körper (engl.: Field) ist eine mathematische Struktur aus einer Menge $M$ und zwei Verknüpfungen, die üblicherweise als Addition + und Multiplikation * bezeichnet werden, obwohl sie sich von den üblichen Grundrechenarten unterscheiden können.

Inhaltsverzeichnis

Formale Definition

Eine Menge $M$ mit zwei Verknüpfungen + und * ist ein Körper, wenn gilt:

$(M, + )$ ist eine Abelsche Gruppe, deren neutrales Element als $0$ bezeichnet wird
$(M\setminus \{0\},*)$ ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element als $1$ bezeichnet wird
es gilt das Distributivgesetz $a * (b + c) = a * b + a * c$

Diese Definition sorgt dafür, dass Multiplikation und Addition in der „gewohnten“ Weise funktionieren. Das Inverse von $a$ bezüglich der Addition ist $-a\,$ und wird das Negative von $a$ genannt, das Inverse von $a$ bezüglich der Multiplikation ist $a - 1$ und wird der Kehrwert oder das Inverse von $a$ genannt. Da die $0$ keinen Kehrwert hat, wird sie aus der multiplikativen Gruppe herausgenommen.

Jeder Körper ist ein Ring. Die Eigenschaften der multiplikativen Gruppe heben den Körper aus den Ringen heraus. Wenn die Kommutativität der multiplikativen Gruppe nicht gefordert wird, erhält man den Begriff des Schiefkörpers.

Jeder Körper ist ein Vektorraum über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Skalarkörper).

Beispiele

Bekannte Beispiele für Körper sind die Menge der rationalen Zahlen mit + und *, die Menge der reellen Zahlen mit + und * oder die Menge der komplexen Zahlen mit + und *.

Kompliziertere Beispiele sind endliche Körper und die p-adischen Zahlen.

Ein Gegenbeispiel bildet die Menge $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen mit + und *. $(\mathbb{Z},+,*)$ ist kein Körper. Zwar ist $(\mathbb{Z},+)$ eine Gruppe (neutral ist die $0$ , das Inverse zu $a$ ist $- a$ ), aber $(\mathbb{Z}\setminus \{0\},*)$ ist keine Gruppe. Es gibt zwar das Neutralelement $1$ , aber außer zu $1$ und $- 1$ gibt es keine Inversen (zum Beispiel liegt $3 - 1 = 1 / 3$ nicht in $\mathbb{Z}$ ). Die ganzen Zahlen bilden einen Integritätsring, dessen Quotientenkörper die rationalen Zahlen sind.

Unterkörper

Ein Unter- bzw. Teilkörper ist eine Teilmenge eines Körpers, die mit den Operationen des Oberkörpers wieder einen Körper bildet. Dazu müssen folgende Aussagen für einen Unterkörper $U$ eines Körpers $K$ gelten:

$a,b \in U\ \Rightarrow\ a + b \in U,\ a \cdot b \in U$ (Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation)
$1_{K},\ 0_{K} \in U$ (Die neutralen Elemente von $K$ sind in $U$ )
$a \in U\ \Rightarrow\ -a \in U$ (Jedes additive Inverse von $U$ ist in $U$ )
$a \in U \setminus \{0\}\ \Rightarrow\ a^{-1} \in U$ (Jedes multiplikative Inverse von $U$ (außer das der $0$ ) ist in $U$ )

Beispiel:

Der Körper der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ ist ein Unterkörper der Reellen Zahlen $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{Q}$ ist sogar der kleinst mögliche Unterkörper von $\mathbb{R}$ , d.h. jeder Unterkörper von $\mathbb{R}$ enthält mindestens $\mathbb{Q}$ .

Endliche Körper

Ein Körper ist ein endlicher Körper, wenn seine Grundmenge $M$ endlich ist.

Die Bezeichnungen $0$ , $1$ , +, * verlieren dann ihre gewohnte Bedeutung, und man kann sie auch anders bezeichnen, zum Beispiel $n$ statt $0$ , $e$ statt $1$ , o statt +, x statt *. Da ein Körper zumindest die Null ( $n$ , Neutrales der Addition) und die Eins ( $e$ , Neutrales der Multiplikation) enthalten muss, kann er nicht weniger als zwei Elemente haben (da $1$ ein Element von $M\setminus\{0\}$ ist, sind $0$ und $1$ wirklich verschieden).

Der kleinste Körper besteht tatsächlich nur aus diesen zwei Elementen:

Grundmenge ist $M = {n, e}$ . Die Verknüpfungen o und x sind durch Verknüpfungstabellen definiert:

Addition:

o	n	e
n	n	e
e	e	n

Multiplikation:

x	n	e
n	n	n
e	n	e

Man bezeichnet diesen Körper $(M, o, x)$ auch als $F 2$ (von engl. field).

Jeder Restklassenring $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ modulo einer Primzahl $p$ ist ein endlicher Körper (es gibt aber noch andere).

Ein endlicher Körper hat immer genau $p n$ Elemente, wobei $p$ eine (beliebige) Primzahl ist, und $n$ eine beliebige positive natürliche Zahl. Zwei endliche Körper mit gleichvielen Elementen sind immer zueinander isomorph. Zusätzlich gilt, dass für jede Primzahlpotenz $p n$ auch tatsächlich ein (bis auf Isomorphie eindeutiger) endlicher Körper existiert, dieser wird oft mit dem Symbol $G F (p n)$ bezeichnet, wobei GF die Abkürzung für Galois-Feld ist.

Schiefkörper

In einem Schiefkörper müssen alle Körpereigenschaften bis auf die Kommutativität der Multiplikation gelten. Alle Körper sind Schiefkörper. Die Quaternionen bilden beispielsweise einen Schiefkörper, aber keinen Körper.

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