Punktgruppe

Eine Punktgruppe oder auch Kristallklasse beschreibt die Symmetrie eines Körpers.

In der Molekülphysik sind Punktgruppen unentbehrlich, um aus spektroskopischen Daten auf die Symmetrie eines Moleküls zu schließen, oder um anhand der bekannten Symmetrie physikalische Eigenschaften vorherzusagen. In der Kristallographie ist die Bestimmung der Punktgruppe ein Schritt auf dem Weg zur Bestimmung der Raumgruppe, die die Symmetrie eines Kristalls beschreibt.

Die Symmetrie eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben. Mögliche Symmetrieoperationen sind Punktspiegelung an einem Inversionszentrum, Spiegelung an einer Spiegelebene, Drehung um eine Drehachse, sowie als Kombination daraus eine Drehspiegelung. Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist. Bei Punktgruppen werden nur Symmetrieoperationen betrachtet, die mindestens einen Punkt im Raum unverändert lassen.

Die internationale Symbolik hierfür wurde aus der von Carl Hermann und Charles-Victor Mauguin abgeleitet; daneben ist auch die von Schoenflies weit verbreitet.

Bei Hermann-Mauguin steht die Zähligkeit der Symmetrie im Vordergrund.

Zähligkeit der Achse: im Kristall nur 1, 2, 3, 4 oder 6, sonst auch 5, 7, ...
 Drehinversionsachse:         - (über der Zahl)
 Symmetrieebene:              m
 Kombination Drehachse/Ebene: /

Dabei wird in der internationalen Form nicht für alle Achsen eine Angabe gemacht, sondern verkürzt dargestellt. Z.B. mmm statt 2/m 2/m 2/m

System von Schoenflies:

Symmetrieachse (polar):     C
 Symmetrieachse (diedrisch): D
 Tetraedergruppe:            T
 Oktaedergruppe:             O
 Zähligkeit der Achse:       wie bei Hermann-Mauguin
 horizontale Symmetrieebene: h
 vertikale Symmetrieebene:   v
 diagonale Symmetrieebene:   d
 Inversionszentrum:          i
 Spiegelebene:               s

Dabei wird an den Großbuchstaben je nach Bedarf eine Ziffer und/oder ein Kleinbuchstabe als Index angehängt, z.B. D_2h.

Nicht alle Symmetrien eines Moleküls sind mit der Symmetrie eines Kristalls vereinbar: wie Pierre Curie erkannte, sind in einem Kristall nur 6-, 4-, 3-, 2-zählige Drehachsen möglich (Drehungen um 60, 90, 120 bzw. 180 und jeweils Vielfache davon). Die Angabe einer 1-zähligen Drehachse bedeutet, dass ein Körper keine Drehsymmetrie besitzt.

Es gibt im endlichdimensionalen Raum nur endlich viele mit Kristallsymmetrie verträgliche Punktgruppen. Speziell im dreidimensionalen euklidischen Raum gibt es 32 davon.

Um die möglichen Symmetrie eines Kristalls zu beschreiben, überlagert man diese 32 Punktgruppen mit den 14 Bravais-Gittern und kommt - nach Ausscheiden isomorpher Gruppen - auf die 230 Raumgruppen.

Weil das Beugungsbild von Kristallen in der Röntgenbeugung immer ein Inversionszentrum enthält, bezeichnet man die zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen auch als Lauegruppen.

Kristallsystem	Kristallklasse	Schönfliess	Hermann / Mauguin
Triklin	triklin-pedial	C₁	$1\$
Triklin	triklin-pinakoidal	C_i	$\bar{1}$
Monoklin	monoklin-sphenoidisch	C₂	$2\$
	monoklin-domatisch	C_s	$m\$
	monoklin-prismatisch	C_2h	$2/m\$
Rhombisch	rhombisch-disphenoidisch	D₂	$222\$
	rhombisch-pyramidal	C_2v	$mm2\$
	rhombisch-dipyramidal	D_2h	$2/m\ 2/m\ 2/m$
Tetragonal	tetragonal-pyramidal	C₄	$4\$
	tetragonal-disphenoidisch	S₄	$\bar{4}$
	tetragonal-dipyramidal	C_4h	$4/m\$
	tetragonal-trapezoedrisch	D₄	$422\$
	ditetragonal-pyramidal	C_4v	$4mm\$
	tetragonal-skalenoedrisch	D_2d	$\bar{4}2m\$ oder $\bar{4}m2$
	ditetragonal-dipyramidal	D_4h	$4/m\ 2/m\ 2/m$
Trigonal	trigonal-pyramidal	C₃	$3 \!$
	rhomboedrisch	C_3i	$\bar{3}$
	trigonal-trapezoedrisch	D₃	$32\$ oder $321\$ oder $312\$
	ditrigonal-pyramidal	C_3v	$3m\$ oder $3m1\$ oder $31m\$
	ditrigonal-skalenoedrisch	D_3d	$\bar{3} 2/m$ oder $\bar{3} 2/m 1$ oder $\bar{3} 1 2/m$
Hexagonal	hexagonal-pyramidal	C₆	$6\$
	trigonal-dipyramidal	C_3h	$\bar{6}$
	hexagonal-dipyramidal	C_6h	$6/m\$
	hexagonal-trapezoedrisch	D₆	$622\$
	dihexagonal-pyramidal	C_6v	$6mm\$
	ditrigonal-dipyramidal	D_3h	$\bar{6}m2$ oder $\bar{6}2m$
	dihexagonal-dipyramidal	D_6h	$6/m\ 2/m\ 2/m\$
Kubisch	tetraedrischpentagondodekaedrisch	T	$23\$
	disdodekaedrisch	T_h	$2/m\ \bar{1}$
	pentagonikositetraedrisch	O	$432\$
	hexakistetraedrisch	T_d	$\bar{4}3m$
	hexakisoktaedrisch	O_h	$4/m\ \bar{3}\ 2/m$