Krümmung

Krümmung ist ein Begriff aus der Mathematik. Je nach Art des gekrümmten Gegenstandes wird er unterschiedlich definiert.

Inhaltsverzeichnis

1 Krümmung einer Kurve

2 Berechnung der Krümmung für ebene Kurven

3 Berechnung der Krümmung für Raumkurven

4 Krümmung einer Fläche

5 Krümmung in der riemannschen Geometrie

6 Anwendung in der Relativitätstheorie

Krümmung einer Kurve

Unter der Krümmung einer Kurve versteht man in der Geometrie und Mathematik die Richtungsänderung pro Längeneinheit. $\vec{r}(s)$ sei der Ortsvektor eines Punktes auf der Kurve als Funktion der Bogenlänge $s$ . Die Krümmung ${\,\kappa\,}$ der Kurve ist dann definiert als

$\kappa = \left|\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\right| \,\,\,\,\,\, \mbox{mit} \,\,\,\,\,\, ds = |d\vec{r}|.$

Ebenso wie die Windung (Torsion) ist die Krümmung eine bewegungsinvariante Größe, die den lokalen Verlauf einer Kurve beschreibt. Beide Größen kommen als Koeffizienten in den frenetschen Formeln vor.

Die Krümmung einer Geraden ist überall gleich null. - Ein Kreis mit dem Radius r hat überall die Krümmung 1/r. Bei allen anderen Kurven wechselt die Krümmung von Kurvenpunkt zu Kurvenpunkt.

Den Kehrwert der Krümmung nennt man Krümmungsradius.

Im Sonderfall einer ebenen Kurve (ihre Windung beträgt null) ist die Krümmung gleichbedeutend mit: $\kappa = \left|\frac{d\varphi}{ds}\right|,$ wobei $\varphi$ der Neigungswinkel der Kurventangente ist.

Berechnung der Krümmung für ebene Kurven

Die oben gegebene allgemeine Definition ist für die praktische Berechnung der Krümmung oft unhandlich. Im Spezialfall einer ebenen Kurve können folgende Formeln verwendet werden:

Fall 1: Die Kurve ist in Parameterdarstellung gegeben, also durch zwei Gleichungen $x = f 1 (t)$ und $y = f 2 (t)$ .

Dann ist die Krümmung im Punkt $(f 1 (t), f 2 (t))$ gleich

$\kappa = \left|\frac{f_1'(t) f_2''(t) - f_1''(t) f_2'(t)}{\left((f_1'(t))^2 + (f_2'(t))^2\right)^{3/2}}\right|$ .

Fall 2: Die Kurve ist der Graph einer Funktion $f$ .

Die Krümmung im Punkt $(x, f (x))$ ergibt sich aus

$\kappa = \left|\frac{f''(x)}{\left(1 + (f'(x))^2\right)^{3/2}}\right|$ .

Fall 3: Die Kurve ist in Polarkoordinaten gegeben, also durch eine Gleichung $r = f(\varphi)$ .

In diesem Fall erhält man für die Krümmung im Punkt $(r\cos\varphi,r\sin\varphi)$

$\kappa = \left|\frac{(f(\varphi))^2 + 2 (f'(\varphi))^2 - f(\varphi) f''(\varphi)} {\left((f(\varphi))^2 + (f'(\varphi))^2\right)^{3/2}}\right|$ .

Berechnung der Krümmung für Raumkurven

Die Kurve im dreidimensionalen Raum ( $\mathbb{R}^3$ ) sei durch eine Funktion des Parameters t gegeben.

$\vec{r} = \vec{r}(t)$

Die Krümmung lässt sich mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung berechnen:

$\kappa = \frac{||\vec{r}\,'(t) \times \vec{r}\,''(t)||}{||\vec{r}\,'(t)||^3}$

Krümmung einer Fläche

Einer gewölbten Fläche merkt man ihre Krümmung an einer nach außen quadratisch zunehmenden Abweichung der Fläche von ihrer Tangentialebene an. Eine verstärkte Krümmung macht sich dann als stärkere Abweichung von der Ebene bemerkbar.

In der Differentialgeometrie weist man jedem Punkt einer gekrümmten Fläche zwei Krümmungsradien zu, einen maximalen (R₁) und einen minimalen (R₂). Die entsprechenden Krümmungsrichtungen stehen immer senkrecht aufeinander. Die gaußsche Krümmung (GK) und die mittlere Krümmung (MK) berechnen sich daraus wie folgt:

$GK = \frac{1}{R_1} \cdot \frac{1}{R_2}$

$MK = \frac{1}{2} ( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} )$

Die zugehörige "Gauß'sche Schmiegungskugel" vereinfacht z.B. Berechnungen am Erdellipsoid erheblich.

Krümmung in der riemannschen Geometrie

Für eine riemannsche Mannigfaltigkeit kann eine Krümmung definiert werden, die ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum auskommt. Sie misst, inwieweit die lokale Geometrie der Mannigfaltigkeit von den Gesetzen der euklidischen Geometrie abweicht.

Die Krümmung zeigt sich beispielsweise, wenn man das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Radius innerhalb der Mannigfaltigkeit ermittelt und zu dem Wert $2π$ , den man in einem euklidischen Raum erhält, in Verhältnis setzt.

Bemerkenswert ist, dass man zum Beispiel auf der Oberfläche eines Torus eine Metrik definieren kann, die keine Krümmung aufweist. Dies lässt sich aus der Tatsache ableiten, dass man einen Torus aus einer ebenen Fläche bilden kann. Das Koordinatensystem, welches auf der Oberfläche benutzt wird, ergibt sich durch die Abbildung der ebenen Fläche, aus der der Torus gebildet wurde.

Anwendung in der Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitation durch eine Krümmung der Raum-Zeit beschrieben, die von den Massen der Himmelskörper verursacht wird. Körper und Lichtstrahlen bewegen sich auf den durch diese Krümmung bestimmten geodätischen Bahnen. Diese Bahnen erwecken den Anschein, dass eine Kraft auf die entsprechenden Körper ausgeübt wird.