Kugeldreieck

Ein Kugeldreieck oder sphärisches Dreieck ist in der sphärischen Geometrie (Kugelgeometrie) ein Teil einer Kugeloberfläche, der von drei Großkreisbögen begrenzt wird. Als Ecken des Kugeldreiecks werden die Punkte bezeichnet, in denen je zwei dieser Großkreise zusammenstoßen.
Ähnlich wie bei Dreiecken in der ebenen Geometrie spricht man von den Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Allerdings versteht man unter der Länge einer Seite nicht etwa die Länge des Kreisbogens, sondern den zugehörigen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel). Eine Seite, die also beispielsweise einem Viertel des Kugel- und Großkreisumfangs entspricht, hat die Länge 90°. Die Innenwinkel (an den drei Ecken) sind definiert durch die Tangenten der Seiten - also die Schnittwinkel zwischen den Ebenen, in denen die begrenzenden Großkreisbögen liegen.

Bild:Kugeldreieck.png

Inhaltsverzeichnis

1 Eulersche Kugeldreiecke

2 Eigenschaften

2.1 Seitensumme
2.2 Winkelsumme
2.3 Flächeninhalt

3 Rechtwinkliges sphärisches Dreieck

3.1 Nepersche Regel

Eulersche Kugeldreiecke

Meist schränkt man den Begriff des Kugeldreiecks ein auf eulersche Kugeldreiecke (benannt nach Leonhard Euler), d.h. auf Kugeldreiecke, deren Seiten und Winkel kleiner als 180° sind. Ohne diese Einschränkung gäbe es zu drei beliebigen Punkten der Kugeloberfläche mehrere Kugeldreiecke.

Die sphärische Trigonometrie ermöglicht es, aus drei bekannten Größen (Seiten oder Winkeln) des Kugeldreiecks die übrigen zu berechnen.

Eigenschaften

Seitensumme

$0^\circ < a + b + c < 360^\circ$

Winkelsumme

$180^\circ < \alpha + \beta + \gamma < 540^\circ$ Bemerkenswert daran ist, dass die Winkelsumme nicht 180° beträgt wie bei ebenen Dreiecken, sondern vom Flächeninhalt abhängt (siehe unten). Bei einem Kugeldreieck mit sehr kleiner Fläche (verglichen mit der gesamten Kugeloberfläche) liegt die Winkelsumme nur geringfügig über 180°. Überdeckt das Dreieck dagegen nahezu die halbe Kugeloberfläche, so ist die Winkelsumme nur wenig kleiner als 540° (3 Winkel zu fast 180°).

Flächeninhalt

$A = \frac{\epsilon}{180^\circ} \cdot r^2 \pi$ Hier steht r für den Kugelradius; $π$ ist die Kreiszahl; die Größe $ε$ , die als sphärischer Exzess bezeichnet wird (Exzess im Sinne von Überschreitung der "normalen" Winkelsumme), ist definiert durch $\epsilon := \alpha + \beta + \gamma - 180^\circ$ .

Der direkte Zusammenhang zwischen Exzess und Dreiecksfläche wird am Achtel einer Kugel deutlich, wo $\epsilon = 90^\circ$ beträgt. Ein solches Dreieck (mit 3 Winkeln zu je 90°) ist z.B. jenes, das ein Viertel des Äquators mit dem Nordpol verbindet.

Rechtwinkliges sphärisches Dreieck

Die Bezeichnungen seien gewählt wie beim ebenen Dreieck. a und b seien die Katheten, c die Hypotenuse (d.h. $\gamma = 90^\circ$ ).

$\cos c = \cos a \cdot \cos b$

$\sin a = \sin c \cdot \sin \alpha$

$\sin b = \sin c \cdot \sin \beta$

$\cos \alpha = \cos a \cdot \sin \beta$

$\cos \beta = \cos b \cdot \sin \alpha$

$\cos c = \cot \alpha \cdot \cot \beta$

$\sin a = \tan b \cdot \cot \beta$

$\sin b = \tan a \cdot \cot \alpha$

$\cos \alpha = \tan b \cdot \cot c$

$\cos \beta = \tan a \cdot \cot c$

Nepersche Regel

Die angegebenen Gleichungen kann man in der neperschen Regel zusammenfassen:
Schließt man den rechten Winkel aus und nimmt statt der Katheten ihre Komplemente (also 90° - a statt a und 90° -b statt b), so ist der Kosinus eines Stückes

gleich dem Produkt der Sinuswerte der beiden nicht benachbarten Stücke oder
gleich dem Produkt der Cotangenswerte der beiden anliegenden Stücke.

Mit Hilfe dieser Regel lassen sich sämtliche rechtwinklige Kugeldreiecke aus zwei gegebenen Stücken berechnen.

Siehe auch: Kugelzweieck, Sphärische Trigonometrie, Einheitskugel, Sphärische Astronomie