Legendre-Polynom

Die Legendre-Polynome, benannt nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre, bilden ein orthogonales Funktionensystem.

Die Legendresche Differentialgleichung hat die Gestalt

$(1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0\,\!$

Legendre-Polynome heißen die partikulären Lösungen der Legendreschen Differentialgleichung für ganzzahlige n

$P_n(x) = \frac{1}{2^n\,n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]$

Eine alternative Darstellung ist

$P_n(x) = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2} \left[ x^n - \frac{n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}x^{n-2} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}x^{n-4} \mp \ldots \right]$

Die Polynome erfüllen folgende Rekursionsformeln

$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=1,2,\ldots)$

$(x^2-1){d \over dx } P_n(x) = n xP_n(x)-nP_{n-1}(x)$

Für sie gilt die Orthogonalitätsrelation:

$\int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x)\, dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{nm}$

dabei ist $δ n m$ das Kronecker-Delta. Sie sind also bezüglich des Skalarprodukts $(f,g):=\int_{-1}^1 f(x) g(x) dx$ orthogonal.

Die ersten Legendre-Polynome lauten:

$P_0(x) = 1,\quad P_1(x) = x,\quad P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 - 1),\quad P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 - 3x)$

Bild:Legendrepolynome1.png

Siehe auch: Spezielle Funktionen

Legendre-Polynom

See also: Legendre-Polynom, Adrien-Marie Legendre, Kronecker-Delta, Mathematik, Orthogonales Funktionensystem, Spezielle Funktionen