Lemma von Lax-Milgram

Das Lemma von Lax-Milgram (nach Peter Lax und Milgram) ist eine Aussage der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Es verallgemeinert die Aussage des Rieszschen Darstellungssatzes auf stetige, koerzive Sesquilinearformen. Es besagt

Aussage

Es sei $\left(H,(\,,\,)\right)$ ein Hilbertraum (über $\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C\}$ ) und es sei $B: H \times H \to \mathbb K$ sesquilinear. Ist dann $B$ stetig, i.e. es gibt $M \in \mathbb R$ mit

$|B(x,y)| \le M\|x\|\|y\|, \quad x,y \in H$

und koerziv, d.h. es gibt $m > 0$ , so dass

$B(x,x) \ge m\|x\|^2, \quad x \in H$

dann existiert genau ein stetiger, linearer Automorphismus $T: H \to H$ , so dass

$B (x, y) = (T x, y)$

für alle $x,y \in H$ .

Anwendungen findet das Lax-Milgram-Lemma p.e. in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen.

Lemma von Lax-Milgram

Aussage

See also: Lemma von Lax-Milgram, Automorphismus, Funktionalanalysis, Hilbertraum, Linear, Partielle Differentialgleichung, Peter Lax, Sesquilinear, Sesquilinearform, Stetig