Lie-Algebra

Lie-Algebra

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

Vektorraum

Beispiele sind

R³ mit Kreuzprodukt
assoziative Algebra mit Kommutator
glatte Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit
spezielle lineare Lie-Algebra|sl(n,R)

Eine Lie-Algebra, benannt nach Sophus Lie, ist eine algebraische Struktur, die hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie Lie-Gruppen und differenzierbare Mannigfaltigkeiten eingesetzt wird.

Definition

Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum g über einem Körper K zusammen mit einer Verknüpfung $[\cdot,\cdot]:g\times g\longrightarrow g,\quad (x,y)\longmapsto [x,y]$ welche Lie-Klammer genannt wird, und den folgenden Bedingungen genügt:

Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt somit $[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z]\,$ und $[z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y]\,$ für alle $a, b\in K\,$ und alle $x, y, z \in g\,$
Sie genügt der Jacobi-Identität. Die Jacobi-Identität lautet $[x,[y,z]]+ [y,[z,x]] +[z,[x,y]]=0\,$ gilt für alle $x,y,z\in g \,$ .
Es gilt $[x, x] = 0$ für alle $x\in g\,$ .

Die erste und dritte Eigenschaft implizieren zusammengenommen die Antisymmetrie [x, y] = − [y, x] für alle x, y aus g, außer wenn K die Charakteristik 2 hat. Lie-Klammern sind im allgemeinen nicht assoziativ: [[x, y], z] muss nicht gleich [x, [y, z]] sein.

Beispiele

Aus der Algebra

Man kann jede assoziative Algebra A zu einer Lie-Algebra machen, indem man als Lieklammer den Kommutator

$[x,y] = x\cdot y - y\cdot x$

wählt. Umgekehrt kann man zeigen, dass sich jede Lie-Algebra als eingebettet in eine assoziative Algebra mit einem Kommutator auffassen lässt, die so genannte universelle einhüllende Algebra.

Die allgemeine lineare Lie-Algebra $\mathfrak{gl}(V)$ für einen $K$ -Vektorraum $V$ ist die Liealgebra der Endomorphismen von $V$ mit dem Kommutator

[A, B] = A B - B A

als Lieklammer. Ist speziell

V = K n

, so schreibt man $\mathfrak{gl}_n(K)$ statt $\mathfrak{gl}(V)$ .

Ein Ideal in $\mathfrak{gl}(V)$ wird von den Endomorphismen mit Spur $0$ gebildet. Es heißt "spezielle lineare Liealgebra" und wird mit $\mathfrak{sl}(V)$ bzw. $\mathfrak{sl}_n(K)$ bezeichnet.
Der Vektorraum R³ bildet eine Lie-Algebra, wenn man die Lie-Klammer als das Kreuzprodukt definiert.
Als konkretes Beispiel betrachten wir die Lie-Gruppe SL(n,R) aller n-mal-n Matrizen mit reellen Elementen und Determinante 1. Der Tangentialraum der Einheitsmatrix kann mit dem Raum aller reellen n-mal-n Matrizen mit Spur 0 identifiziert werden, und die Matrizen-Multiplikation der Lie-Gruppe liefert über den Kommutator die Lie-Klammer der Lie-Algebra.

Glatte Vektorfelder

Die glatten Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bilden eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra. Die Vektorfelder operieren als Lie-Ableitung auf dem Ring der glatten Funktionen. Seien X, Y zwei glatte Vektorfelder und f eine glatte Funktion. Wir definieren die Lie-Klammer durch [X, Y] f = (XY − YX) f.

Lie-Algebra einer Lie-Gruppe

Der Vektorraum der linksinvarianten Vektorfelder auf einer Lie-Gruppe ist unter dieser Kommutatoroperation abgeschlossen und bildet eine endlich-dimensionale Lie-Algebra.

Glatte Funktionen mit der Poissonklammer

Die glatten Funktionen auf einer Symplektischen Mannigfaltigkeit, bilden mit der Poissonklammer eine Lie-Algebra. Vergleiche Poisson-Mannigfaltigkeit.

Homomorphismem

Seien $g\,\!$ und $h\,\!$ zwei Lie-Algebren. Eine lineare Abbildung $\varphi:g\longrightarrow h$ heißt Lie-Algebra-Homomorphismus, wenn $[\varphi(x),\varphi(y)]=\varphi([x,y])$ für alle $x,y\in g$ gilt.

In der Kategorie der Lie-Algebren sind die Lie-Algebren die Objekte und die Lie-Algebra-Homomorphimen die Pfeile.

Unteralgebra

Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra g ist ein Untervektorraum $h\leq g$ , der abgeschlossen unter der Lie-Klammer ist. Das heißt für alle $x,y\in h$ gilt $[x,y]\in h$ . Eine Unteralgebra ist selbst eine Lie-Algebra.

Ideal

Eine Unteralgebra $i\leq g$ heißt Ideal, wenn $[x,y]\in i$ für alle $x\in g$ und $y\in i$ gilt.

Die Ideale sind genau die Kerne der Lie-Algebra-Homomorphismen.

Auf dem Quotientenraum $g/i\,\!$ wird durch $[x+i,y+i]:=[x,y]+i\,\!$ eine Lie-Algebra definiert, die Quotienten-Algebra. Dabei waren $x,y\in g$ .

Satz von Ado

Der Satz von Ado besagt, dass jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra Unteralgebra der $\mathfrak{gl}_n(\mathbb C)$ ist. Das heißt man kann jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra als eine Lie-Algebra von Matrizen darstellen.

Typen von Lie-Algebren

Abelsche Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra ist abelsch, wenn die Lie-Klammer identisch Null ist.

Jeder Vektorraum bildet eine abelsche Lie-Algebra, wenn man jede Lie-Klammer als Null definiert.

Nilpotente Lie-Algebra

Sei g eine Lie-Algebra. Wir definieren die absteigende Zentralreihe durch:

$\mathcal C^0\mathfrak g=\mathfrak g,\;\;\; \mathcal C^1\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g],\;\;\; \mathcal C^2\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathcal C\mathfrak g],\;\;\; \mathrm{allgemein}\ \mathcal C^{n+1}\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathcal C^n\mathfrak g].$

Die absteigende Zentralreihe wird gelegentlich auch $\mathfrak g^{n}$ o.ä. geschrieben.

Eine Lie-ALgebra heißt nilpotent, wenn ihre absteigende Zentralreihe schließlich Null wird, d.h. $\mathcal C^N\mathfrak g=0$ für einen Index $N$ .

Satz von Engel

Sei g eine endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra, dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

Die Lie-Algebra $g \,$ ist nilpotent
Für jedes $x \in g$ ist ${\rm ad}(x):g\longrightarrow g,\quad y\longmapsto [x,y]$ eine nilpotente lineare Abbildung.

Auflösbare Lie-Algebra

Sei g eine Lie-Algebra. Wir definieren die abgeleitete (oder derivierte) Reihe durch:

$\mathcal D^0\mathfrak g=\mathfrak g,\;\;\; \mathcal D\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g], \;\;\; \mathcal D^2\mathfrak g=[\mathcal D\mathfrak g,\mathcal D\mathfrak g], \;\;\;\mathrm{allgemein}\ \mathcal D^{n+1}\mathfrak g=[\mathcal D^n\mathfrak g,\mathcal D^n\mathfrak g].$

Die abgeleitete Reihe wird gelegentlich auch $\mathfrak g^{(n)}$ o.ä. geschrieben.

Eine Lie-Algebra heißt auflösbar, wenn ihre abgeleitete Reihe schließlich Null wird, d.h. $\mathcal D^N\mathfrak g=0$ für große $N$ .

Eine maximale auflösbare Unteralgebra heißt Borel-Unteralgebra.

Einfache Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra heißt einfach, wenn sie kein nicht-triviales Ideal hat und nicht abelsch ist.

Bei den Lie-Algebren wird Einfachheit abweichend verwendet. Dies kann zu Verwirrungen führen. Wenn man eine Lie-Algebra als algebraische Struktur auffasst, so ist die Forderung, dass sie nicht abelsch sein darf, unnatürlich.

Halbeinfache Lie-Algebren

Eine Lie-Algebra g heißt halbeinfach, wenn sie die direkte Summe von einfachen Lie-Algebren ist.

Für eine endlichdimensionale Lie-Algebra g sind die folgenden Aussagen äquivalent:

g ist halbeinfach.
Das Radikal von g verschwindet.
Die Killing-Form :K(u,v) = tr(ad(u)ad(v)) ist nicht-entartet ist (tr bezeichnet die Spur von Endomorphismen).

Satz von Weyl

Sei g eine halbeinfache endlichdimensioanel komplexe Lie-Algebra, dann ist jede endlichdimensionale Darstellung von g vollständig reduzibel.

Klassifikation

Halbeinfache komplexe Lie-Algebren können anhand ihrer Wurzelsysteme klassifiziert werden; diese Klassifikation wurde 1900 von Élie Cartan abgeschlossen.

reelle Lie-Algebren

Eine Auswahl reeller Lie-Algebren

1 dimensionale:
1. R
2 dimensionale:
1. R^2
2. [a,b]=a
3 dimensionale:
1. R^3
2. Heisenberg-Algebra
3. su(2)=so(3,R)
4. sl(2,R)
4 dimensionale:
1. Basis {U,X,Y,Z} mit [U,X] = Y, [U,Y] = Z, [X,Y] = 0, Z im Zentrum, ist nilpotent mit Nilindex 3. Diese heißt Filiform Liealgebra.
5 dimensionale:
6 dimensionale:
1. sl(2,C)=so(3,1)

Zusammenhang zu Lie-Gruppen

Zum Beispiel haben die Gruppen SO(3) (orthogonale 3×3 Matrizen mit Determinante 1) und SU(2) (unitäre 2×2 Matrizen mit Determinante 1) dieselbe Lie-Algebra, nämlich R³ mit dem Kreuzprodukt und sind deshalb lokal, aber nicht global isomorph (siehe Karten der SO(3)).