Limes superior und Limes inferior

In der Mathematik bezeichnen Limes superior und Limes inferior einer Folge (x_n) den größten bzw. kleinsten Grenzwert konvergenter Teilfolgen von (x_n). Sie sind ein partieller Ersatz für den Grenzwert im Fall nicht konvergenter Folgen.

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Definition

2 Folgen reeller Zahlen

3 Folgen von Mengen

3.1 Limes superior und Limes inferior
3.2 Zusammenhang mit Folgen von Zahlen
3.3 Konvergenz

3.3.1 Monotone Konvergenz

Formale Definition

Formal wird der Limes inferior einer Folge (x_n) definiert als

$\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\,\inf\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$

bzw. als

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right)$

und mit $\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n$ oder auch mit $\underline{\lim}_{n\rightarrow\infty}x_n$ bezeichnet.

Entsprechend wird der Limes superior definiert als

$\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$

bzw. als

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{m\geq n}x_m\right)$

und mit $\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n$ oder auch mit $\overline{\lim}_{n\rightarrow\infty}x_n$ bezeichnet.

Diese Definitionen sind in einer partiell geordneten Menge sinnvoll, falls die vorkommenden Suprema und Infima existieren. In einem vollständigen Verband existieren diese Größen immer, so dass in diesem Fall auch jede Folge einen Limes inferior und einen Limes superior besitzt.

Existieren Limes inferior und Limes superior einer Folge (x_n), so ist $\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n.$

Folgen reeller Zahlen

Für eine Folge reeller Zahlen müssen Limes inferior und Limes superior nicht existieren, da die reellen Zahlen keinen vollständigen Verband bilden. Wenn sie existieren, sind sie der kleinste bzw. der größte Häufungspunkt der Folge. Häufig werden Limes inferior und Limes superior allerdings als Elemente der erweiterten reellen Zahlen $\R\cup\lbrace-\infty,+\infty\rbrace$ betrachtet; in diesem Fall existieren sie immer.

Folgen von Mengen

Limes superior und Limes inferior

Für eine beliebige Menge $Ω$ bildet die Potenzmenge $P (Ω)$ einen vollständigen Verband. Betrachtet man eine Folge (A_n) von beliebigen Teilmengen von $Ω$ , so bezeichnet der Limes inferior dieser Folge alle Elemente, die in fast allen A_n liegen. Entsprechend bezeichnet der Limes superior eine Menge, die alle Elemente enthält, die in unendlich vielen A_n liegen.

In der Sprache der Mengenlehre ausgedrückt,

$\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right)$

und

$\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right).$

Zusammenhang mit Folgen von Zahlen

Die charakteristische Funktion des Limes inferior bzw. Limes superior von Mengen ist der punktweise Limes inferior bzw. Limes superior der charakteristischen Funktionen der einzelnen Mengen: Aus

$\chi_A(x)=\sup_n\chi_{A_n}(x)$ für $A=\bigcup_nA_n$

und

$\chi_A(x)=\inf_n\chi_{A_n}(x)$ für $A=\bigcap_nA_n$

folgt

$\chi_{\bigcup_n\bigcap_{m\geq n}A_m}(x)=\sup_n\chi_{\bigcap_{m\geq n}A_m}(x)=\sup_n\inf_{m\geq n}\chi_{A_m}(x),$

analog für lim sup.

Konvergenz

Man sagt, die Folge (A_n) konvergiert gegen eine Menge A, falls der Limes inferior und der Limes superior gleich sind und schreibt $A=\lim_{n\rightarrow\infty}A_n$ oder auch $A_n\rightarrow A$ . Eine Folge von Teilmengen einer Menge $X$ konvergiert genau dann, wenn es zu jedem $x$ einen Index $N$ gibt, so dass entweder $x\in A_n$ für alle $n\geq N$ oder $x\notin A_n$ für alle $n\geq N$ gilt.