Lineare Algebra

Lineare Algebra ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Vektoren, Vektorräumen, linearen Abbildungen und linearen Gleichungssystemen befasst. Da der Begriff des Vektorraumes ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik ist, gilt die lineare Algebra als eine der Grundlagen der Mathematik. Außerhalb der reinen Mathematik finden sich Anwendungen der linearen Algebra u.a. in den Naturwissenschaften und in der Wirtschaftswissenschaft (z.B. in der Optimierung).

Die lineare Algebra entstand aus zwei konkreten Anforderungen heraus: einerseits dem Lösen von linearen Gleichungssystemen, andererseits der rechnerischen Beschreibung geometrischer Objekte, der so genannten analytischen Geometrie.

Inhaltsverzeichnis

1 Lineare Gleichungssysteme

2 Analytische Geometrie

3 Vektorräume und lineare Algebra

4 Verwandte Begriffe

5 Vektoren und Matrizen

6 Rechenregeln

7 Eigenwertprobleme

8 Literatur

Lineare Gleichungssysteme

Als lineare Gleichungssysteme bezeichnet man Systeme von Gleichungen der Art

x 1 + x 2 = 1

3 x 1 + 6 x 2 = 4

Derartige Gleichungssysteme erhält man aus vielen alltäglichen Fragestellungen, beispielsweise:

In welchem Verhältnis muss man eine 30%-ige Lösung und eine 60%-ige Lösung mischen, um eine 40%-ige Lösung zu erhalten?

Der wesentliche Abstraktionsschritt der linearen Algebra besteht nun darin, die linken Seiten als eine Funktion $A$ der Unbekannten $x = (x 1, x 2)$ aufzufassen:

$A(x)=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\ 3x_1+6x_2\end{pmatrix}$

Dann wird die Lösung des Gleichungssystems zu der Aufgabe: Finde ein $x$ , so dass

$A(x)=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$

gilt. Das Übereinanderschreiben ist dabei lediglich ein Formalismus, um mit mehr als einer Zahl gleichzeitig umgehen zu können.

Statt $A$ schreibt man auch einfach die relevanten Zahlen in Form eines Rechtecks auf und nennt das Objekt eine Matrix:

$A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 3 & 6\end{pmatrix}.$

Man stellt fest, dass die Funktion $A$ spezielle Eigenschaften hat, sie ist eine lineare Abbildung: Ist $x$ eine Lösung für das Gleichungssystem $A (x) = b$ , und $y$ eine Lösung des Gleichungssystems $A (y) = c$ , so ist

$z=x+y=\begin{pmatrix}x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3\end{pmatrix}$

eine Lösung von $A (z) = b + c$ . Man kann das auch in der Form $A (x + y) = A (x) + A (y)$ schreiben. Ist weiter $λ$ irgendeine reelle Zahl, so ist $A(\lambda x)=\lambda\cdot A(x)$ ; dabei ist

$\lambda x=\begin{pmatrix}\lambda x_1\\\lambda x_2\\\lambda x_3\end{pmatrix}.$

Siehe auch lineares Gleichungssystem, lineare Abbildung, inverse Matrix, Determinante

Analytische Geometrie

Der andere Ursprung der linearen Algebra findet sich in der rechnerischen Beschreibung des 2- und 3-dimensionalen (euklidischen) Raumes, auch "Anschauungsraum" genannt. Mithilfe eines Koordinatensystemes können Punkte im Raum durch Tripel $(x 1, x 2, x 3)$ von Zahlen beschrieben werden. Der Abbildungtyp der Verschiebung führt zum Begriff des Vektors, der Richtung und Betrag der Verschiebung angibt. Viele physikalische Größen, beispielsweise Kräfte, haben stets diesen Richtungsaspekt.

Da man auch Vektoren durch Zahlentripel $(a 1, a 2, a 3)$ beschreiben kann, verschwimmt die Trennung zwischen Vektoren und Punkten: einem Punkt $P$ entspricht sein Ortsvektor, der vom Koordinatenursprung nach $P$ zeigt.

Viele der in der klassischen Geometrie betrachteten Abbildungstypen, beispielsweise Drehungen um Achsen durch den Ursprung oder Spiegelungen an Ebenen durch den Ursprung, gehören zur Klasse der linearen Abbildungen, die schon oben erwähnt wurde.

Siehe auch analytische Geometrie

Vektorräume und lineare Algebra

Der Begriff des Vektorraumes entsteht als Abstraktion der obigen Beispiele: Ein Vektorraum ist eine Menge, deren Elemente Vektoren genannt werden, zusammen mit

einer Addition von Vektoren
einer Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen, Skalarmultiplikation genannt.

Diese Addition und die Skalarmultiplikation müssen noch einige einfache Eigenschaften erfüllen, die auch für die Vektoren im Anschauungsraum gelten.

Man könnte sagen, dass Vektorräume gerade so definiert sind, dass man von linearen Abbildungen zwischen ihnen sprechen kann.

In einer weiteren Verallgemeinerung kann man die reellen Zahlen durch andere Körper ersetzen.

Siehe auch Vektorraum

Vektoren und Matrizen

Vektoren können durch ihre Komponenten beschrieben werden, die (je nach Anwendung) als (hier 3-dimensionaler) Spaltenvektor

$\mathbf{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

oder (hier 4-dimensionaler) Zeilenvektor

$\mathbf{b}=\begin{pmatrix} 4 & 6 & 3 & 7 \end{pmatrix}$

geschrieben werden.

In der Literatur werden Vektoren unterschiedlich von anderen Größen unterschieden: Es werden Kleinbuchstaben, fettgedruckte Kleinbuchstaben, unterstrichene Kleinbuchstaben oder Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber benutzt. Dieser Artikel verwendet Kleinbuchstaben.

Eine Matrix wird durch ein 'Raster' von Zahlen angegeben. Hier ist eine Matrix mit 4 Zeilen und 3 Spalten:

$\mathbf{M}=\begin{pmatrix} 8 & 2 & 9 \\ 4 & 8 & 2 \\ 8 & 3 & 7 \\ 5 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

Matrizen werden meistens mit Großbuchstaben bezeichnet.

Einzelne Elemente eines Vektors werden bei Spaltenvektoren in der Regel durch einen Index angegeben: Das 2. Element des oben angegebenen Vektors a wäre dann a₂=7. In Zeilenvektoren wird manchmal eine Hochzahl verwendet, wobei man aufpassen muss, ob eine Vektorindizierung oder ein Exponent vorliegt: Mit dem obigen Beispiel b hat man etwa b⁴=7.

Matrixelemente werden durch zwei Indizes angegeben. Dabei werden die Elemente durch Kleinbuchstaben dargestellt: m_2,3=2 ist das Element der 2. Zeile in der 3. Spalte.

Der verallgemeinerte Begriff dieser Gebilde ist Tensor, Skalare sind Tensoren 0. Stufe, Vektoren Tensoren 1. Stufe, Matrizen Tensoren 2. Stufe. Ein Tensor n. Stufe kann durch einen n-dimensionalen Zahlen-Würfel repräsentiert werden.

Rechenregeln

Sowohl Vektoren als auch Matrizen werden elementweise addiert (siehe hierzu auch Vektorrechnung und Matrix):

$\begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} &+& \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \\ 11 \end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix} 2 & 8 & 3 \\ 2 & 9 & 4 \\ 7 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} &+& \begin{pmatrix} 3 & 7 & 1 \\ 8 & 4 & 6 \\ 7 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 5 & 15 & 4 \\ 10 & 13 & 10 \\ 14 & 6 & 5 \\ \end{pmatrix} \end{matrix}$

Die Multiplikation mit einer Zahl (Skalarmultiplikation, skalare Multiplikation) erfolgt durch Multiplikation jedes Vektor- oder Matrixelementes mit der Zahl.

$\begin{matrix} 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \\ 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 8 & 4 \\ 9 & 4 & 1 \\ 4 & 7 & 2 \\ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 6 & 16 & 8 \\ 18 & 8 & 2 \\ 8 & 14 & 4 \\ \end{pmatrix} \end{matrix}$

Damit eine Multiplikation zweier Matrizen definiert werden kann, muss die Anzahl der Spalten der 'linken' Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der 'rechten' Matrix sein. Die anschauliche Merkregel zur Matrixmultiplikation beispielsweise zweier Matrizen zu $\mathrm{C = A \cdot B}$ ist, dass man ein Element c_i,j der Matrix C aus dem Produkt der i-ten Zeile der Matrix A mit der j-ten Spalte der Matrix B erhält. Nach den oben genannten Bedingungen ist sichergestellt, dass eine Zeile in A genausoviele Elemente wie eine Spalte in B enthält. Dann kann man das Produkt von Zeile mit Spalte als die Summe der paarweisen Produkte (erstes Element der Zeile $\cdot$ erstes Element der Spalte + ... + letztes Element der Zeile $\cdot$ letztes Element der Spalte) definieren. Da man formal einen Vektor als eine Matrix mit einer Zeile oder einer Spalte auffassen kann, fallen Multiplikationen zwischen Matrix und Vektor ebenfalls unter diese Vorschrift.

$\begin{matrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 6 \\ \end{pmatrix} &\cdot& \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 3\cdot2 + 2\cdot4 + 4\cdot3 & 3\cdot1 + 2\cdot2 + 4\cdot1 \\ 1\cdot2 + 4\cdot4 + 3\cdot6 & 1\cdot1 + 2\cdot4 + 6\cdot1 \\ \end{pmatrix} \end{matrix}$

$\begin{matrix} &=& \begin{pmatrix} 6 + 8 + 12 & 3 + 4 + 4\\ 2 + 16 + 18 & 1 + 8 + 6 \\ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 26 & 11\\ 36 & 15 \\ \end{pmatrix} \end{matrix}$

Formal definiert man die Matrixmultiplikation $\mathrm{C = A \cdot B}$ durch

$c_{ij} = \sum^{n}_{k=1}{a_{ik}b_{kj}}$ .

Zu beachten ist hierbei, dass Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist, d.h. im Allgemeinen gilt: $\mathrm{B \cdot A} \neq \mathrm{A \cdot B}$ .

Eigenwertprobleme

Ein Eigenwert einer quadratischen Matrix $A$ ist eine Zahl $λ$ mit der Eigenschaft: Es existiert ein $x\neq\vec 0$ , so dass

A x = λ x

x heißt dann Eigenvektor zum Eigenwert $λ$ . Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix charakterisieren wichtige Eigenschaften linearer Abbildungen. So hat beispielsweise ein Gleichungssystem, dessen zugehörige Matrix einen Eigenwert 0 hat, nie eine eindeutige Lösung.

Literatur

H. Anton: Lineare Algebra; Spektrum Akademischer Verlag GmbH Heidelberg ISBN 3-86025-137-6
Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra; Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-46508-5
Egbert Brieskorn: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Bd.1; Vieweg-Verlag; 1983, ISBN 3528085614
Egbert Brieskorn: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Bd.2; Vieweg-Verlag; 1998, ISBN 3528085622
Siegfried Bosch: Lineare Algebra; Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-41853-9
Gerd Fischer: Lineare Algebra; Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3
Klaus Jänich: Lineare Algebra; Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-66888-8
H.-J. Kowalsky: Lineare Algebra; de Gruyter Lehrbuch, ISBN 3-11-008164-4

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