Lineare Unabhängigkeit

In der linearen Algebra wird eine Menge von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich keiner dieser Vektoren als Linearkombination aus den anderen zusammensetzen lässt. Anders ausgedrückt, sind Vektoren genau dann linear voneinander unabhängig, wenn sich der Nullvektor allein durch die Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, indem alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert Null gesetzt werden.

Zum Beispiel sind im dreidimensionalen Euklidischen Raum $\mathbb{R}^3$ die Vektoren $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ linear unabhängig. Die Vektoren $(2, - 1,1)$ , $(1,0,1)$ und $(3, - 1,2)$ sind hingegen nicht linear unabhängig, denn der dritte Vektor lässt sich aus der Summe der beiden ersten zusammensetzen. Sind Vektoren nicht linear unabhängig, dann werden sie auch linear abhängig genannt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

1.1 Eigenschaften

2 Beispiele

2.1 Beispiel 1
2.2 Beispiel 2
2.3 Beispiel 3
2.4 Beispiel 4

3 Verallgemeinerung

Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$ , $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ ..., \mathbf{v}_n$ Vektoren des Vektorraums $V$ und die Elemente $a_1, a_2,\ ...,a_n$ von $K$ seien eine Koeffizientenfamilie (mit endlich vielen Elementen $a i$ ungleich Null).

Dann sind die Vektoren $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ ..., \mathbf{v}_n$ voneinander linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor aus der Linearkombination

$a_1 \cdot \mathbf{v}_1 + a_2 \cdot \mathbf{v}_2 +\ ...\ + a_n \cdot \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$

nur darstellen lässt, wenn alle Koeffizienten $a i = 0$ (für $i = 1... n$ ) sind, also

$0 \cdot \mathbf{v}_1 + 0 \cdot \mathbf{v}_2 +\ ...\ + 0 \cdot \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$

Das bedeutet

$\sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} \,$ mit

a i = 0

Lässt sich aber der Nullvektor außerdem noch mit Koeffizienten ungleich Null erzeugen, dann sind die Vektoren linear voneinander abhängig.

Achtung: Der Nullvektor $\mathbf{0}$ ist ein Element des Vektorraumes V, während 0 ein Element aus dem Körper K ist!

Hat man zum Beispiel drei Vektoren aus $\mathbb{R}^3$ , kann man sehr einfach überprüfen ob sie voneinander linear unabhängig sind. Dazu wird aus

$\mathbf{0} = a_1 \cdot \mathbf{u} + a_2 \cdot \mathbf{v} + a_3 \cdot \mathbf{w}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem gebildet:

$0 = a_1 \cdot u_x + a_2 \cdot v_x + a_3 \cdot w_x$

$0 = a_1 \cdot u_y + a_2 \cdot v_y + a_3 \cdot w_y$

$0 = a_1 \cdot u_z + a_2 \cdot v_z + a_3 \cdot w_z$

und mittels Gaußschen Eliminationsverfahren nach $a 1, a 2, a 3$ gelöst. Gibt es nur eine einzige Lösung, nämlich dass $a 1 = a 2 = a 3 = 0$ , dann sind die Vektoren linear unabhängig. Existieren weitere Lösungen, sind sie linear voneinander abhängig.

Eigenschaften

Um die Definition noch einmal auf den Punkt zu bringen, kann man sagen, dass die Vektoren $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ ..., \mathbf{v}_n$ genau dann linear unabhängig sind, wenn folgendes erfüllt ist:

Sind $a_1, a_2,\ ..., a_n$ Elemente von $K$ und gilt, dass

$a_1 \cdot \mathbf{v}_1 + a_2 \cdot \mathbf{v}_2 +\ ...\ + a_n \cdot \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$ ,

dann muss $a i = 0$ , für $i \isin \{1, 2,\ ..., n\}$

Ist die Menge der Vektoren $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ ..., \mathbf{v}_n$ linear unabhängig, so ist jede Teilmenge dieser Menge ebenfalls linear unabhängig. Ist diese Menge hingegen linear abhängig, so ist jede Vektormenge, die diese abhängige Menge als Teilmenge beinhaltet ebenso linear abhängig.

Elementare Umformungen der Vektoren verändern die lineare Abhängigikeit oder die lineare Unabhängigkeit nicht.

In einer Linearkombination sind die Koeffizienten eindeutig bestimmt, wenn die Vektoren $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ ..., \mathbf{v}_n$ linear unabhängig sind. Dies kann zur Feststellung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen benützt werden. Das lineare Gleichungsystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die einzelnen Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix voneinander linear unabhängig sind.

Wichtig ist das Konzept der linearen Unabhängigkeit in Bezug auf die Basis eines Vektorraums. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, mit dem alle Elemente eines Vektorraums erzeugt werden können, d.h. sie besteht aus einer Menge von Vektoren $\{ \mathbf{v}_1,\ ..., \mathbf{v}_n \}$ , die voneinander linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.

Beispiele

Beispiel 1

Der Vektor $\mathbf{v}$ sei ein Element des Vektorraums $V$ über $K$ . Dann ist der einzelne Vektor $\mathbf{v}$ für sich genau dann linear unabhängig, wenn gilt, dass $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ (d.h. ungleich dem Nullvektor ist).

Denn aus der Definition des Vektorraums folgt, dass wenn

$a \cdot \mathbf{v} = 0$ mit $a \isin K$ , $\mathbf{v} \isin V$

nur entweder $a = 0$ oder $\mathbf{v}=\mathbf{0}$ sein kann!

Beispiel 2

Die Vektoren $\mathbf{u}=(1,1)$ und $\mathbf{v}=(-3,2)$ sind in $\mathbb{R}^2$ linear unabhängig.

Beweis: für $a,b \isin \mathbb{R}\ \ \wedge\ \ \mathbf{u},\mathbf{v} \isin V$

$a \cdot \mathbf{u} + b \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0}$

$a \cdot (1,1) + b \cdot (-3,2) = (0,0)$

$\Rightarrow \ (a-3b,a+2b)=(0,0)$

$\Rightarrow \ a-3b=0 \ \wedge \ a+2b=0$

Dieses Gleichungsystem ist nur für die Lösung $a = 0$ , $b = 0$ erfüllt und damit linear unabhängig.

Beispiel 3

$V= \mathbb{R}^n$ und folgende Elemente von $V$ sind definiert:

$\mathbf{e}_1=(1,0,0,\ ...,0)$

$\mathbf{e}_2=(0,1,0,\ ...,0)$

...

$\mathbf{e}_n=(0,0,0,\ ...,1)$

Dann ist die Vektorfamilie $(\mathbf{e}_i)_{i \isin I}$ mit $I=\{1,2,\ ...,n\}$ linear unabhängig.

Beweis: für $a_1, a_2,\ ...,a_n \isin \mathbb{R}$

$a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + a_2 \cdot \mathbf{e}_2 +\ ...\ + a_n \cdot \mathbf{e}_n = \mathbf{0}$

dann gilt aber auch

$a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + a_2 \cdot \mathbf{e}_2 +\ ...\ + a_n \cdot \mathbf{e}_n = (a_1,a_2,\ ...,a_n) = \mathbf{0}$

und daraus folgt, dass alle $a i = 0$ ,für $i \isin \{1,2, ...,n\}$ .

Beispiel 4

(benötigt Kenntnisse über die Differenzialrechnung)

$V$ soll der Vektorraum über alle Funktionen $f (t)$ sein.
Die beiden Funktionen $e t$ und $e 2 t$ in $V$ sind linear unabhängig.

Beweis: für $a,b \isin \mathbb{R} \ \wedge\ \mathrm{e}^t,\mathrm{e}^{2t} \isin V$

$a \cdot \mathrm{e}^t + b \cdot \mathrm{e}^{2t} = 0$ (1)

Nun muss gezeigt werde, dass die Koeffizenten $a$ und $b$ gleich Null sind - die e Funktion kann niemals 0 werden! Durch die Ableitung von (1) nach $t$ wird festgestellt, wie die Gleichung auf Null gesetzt werden kann.

$a \cdot \mathrm{e}^t + 2b \cdot \mathrm{e}^{2t} = 0$ (2)

Wird (1) von (2) subtrahiert, ergibt $b \cdot \mathrm{e}^t =0$ und daraus folgt, dass (wenn $t = 0$ ) $b = 0$ sein muss.

Die erste Gleichung ist nun

$a \cdot \mathrm{e}^t + 0 = 0$

und daraus folgt wieder, dass (für $t = 0$ ) $a = 0$ sein muss.

⇒ linear unabhängig

Verallgemeinerung

Der Begriff der linearen Unabhängigkeit lässt sich weiter zu einer Betrachtung von unabhängigen Mengen verallgemeinern, siehe dazu Matroid.