Linearer Operator
Der Begriff Operator wurde ursprünglich in der Funktionalanalysis (einem Teilgebiet der Mathematik) eingeführt, um damit Abbildungen zwischen Funktionenräumen zu beschreiben.
Heutzutage versteht man in der Mathematik unter einem linearen Operator eine lineare Abbildung zwischen topologischen Vektorräumen. Oft ist der Definitionsbereich ein Unterraum eines größeren topologischen Vektorraums, der Operator wird dann als eine partielle Abbildung aufgefasst. Der Definitionsbereich eines Operators wird dann auch als Domäne bezeichnet.
Eine lineare Abbildung ist ein algebraischer Begriff. Sie ist eine Abbildung zwischen Vektorräumen über beliebigen Körpern, ohne dass eine Topologie vorhanden sein muss. Im Gegensatz zur linearen Abbildung ist der lineare Operator eine Abbildung zwischen topologischen Vektorräumen, wie zum Beispiel Funktionen-Räumen.
Man unterscheidet zwischen beschränkten und unbeschränkten linearen Operatoren. Betrachten wir zwei Banachräume V und W und eine lineare Abbildung 
.
Wir definieren die Operatornorm durch:
.
Ist die Operatornorm endlich, so sprechen wir von einem beschränkten Operator. In diesem Kontext kann man zeigen, dass aus beschränkt stetig folgt.
Ein unbeschränkter Operator ist eine partiell definierte lineare Abbildung zwischen zwei Banachräumen. Die Menge aller Elemente des Vorbereiches, die ein Bild besitzen, heißt Domäne. Ein Operator heißt dicht definiert, wenn seine Domäne eine dichte Teilmenge des Vorbereiches ist. Das Interesse an unbeschränkten Operatoren ist durch die Untersuchung von Differentialoperatoren und deren Eigenwertspektrum begründet. Man kann zum Beispiel den Operator der Ableitung innerhalb der stetigen Funktionen auf der dichten Teilmenge der differenzierbaren Funktionen definieren, jedoch ist er in der Topologie der Supremumsnorm unbeschränkt. Man betrachte dazu stetig differenzierbare Approximanitonen der Heaviside-Funktion.