Linearkombination

Eine Linearkombination x\, von endlich vielen Elementen x_1, x_2, \dots , x_n einer Menge M ist die Summe von beliebigen Vielfachen dieser Elemente. Um die Vielfachen berechnen zu können, sind Faktoren zu wählen, mit denen die Elemente multipliziert werden. Diese Faktoren nennt man Koeffizienten der Linearkombination. Sie sind meist reelle oder komplexe Zahlen.

x = a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + \dots + a_n \cdot x_n \qquad \quad \mathrm{mit}\quad a_i \in \mathbb{R} \quad \mathrm{oder} \quad a_i \in \mathbb{C}

oder kürzer geschrieben:

x = \sum_{i=1}^{n} a_i x_i

Um die Linearkombination aus Elementen einer Menge bilden zu können, muss definiert sein, wie Vielfache von ihnen berechnet und wie solche Vielfachen aufsummiert werden können. Dies ist beispielsweise bei Elementen eines Vektorraumes gegeben.

In einem Vektorraum ist die Linearkombination von Vektoren mit Koeffizienten aus dem Körper des Vektorraums wieder ein Element des Vektorraums. Lassen sich alle Elemente des Vektorraums als Linearkombination aus einer Menge M darstellen, ist M ein Erzeugendensystem des Vektorraums. Die Menge aller Linearkombinationen einer Menge von Vektoren wird lineare Hülle genannt.

See also: Linearkombination, Erzeugendensystem, Koeffizient, Komplexe Zahlen, Körper (Mathematik), Lineare Hülle, Multiplikation, Reelle Zahlen, Summe, Vektor