Logik

Unter der Logik (griechisches Adjektiv λογική [τέχνη] - die logische [Kunst, Vorgehensweise], synonym häufig auch: formale Logik, mathematische Logik) wird heute im allgemeinen eine, teils in der Philosophie, teils in der Mathematik und in der Informatik angesiedelte Theorie verstanden, die sich primär mit den Normen des korrekten Folgerns beschäftigt. Sie untersucht, unter welchen Bedingungen das Folgern einer Aussage aus einer Menge anderer Aussagen korrekt ist und entwickelt hierzu formale Sprachen zur exakten Beschreibung und Normierung der Schlussregeln. Die Logik lässt sich somit erkenntnistheoretisch als eine Lehre von idealen Gesetzen auffassen. Denn ideale Gesetze sind unzeitlich, im Gegensatz zu Tatsachen welche einem zeitlichen Werden unterworfen sind. Da Tatsachen reine Erfahrungsgegenstände sind, und sich jede Erfahrungswissenschaft, mit der Erweiterung ihres Erfahrungshorizontes auch ihre Prinzipien ändern.

Charakteristisch für die Regeln der deduktiven Logik – d.h. der Logik im engeren Sinne, im Gegensatz zu einer induktiven "Logik" – ist der Umstand, dass ein Übergang von einer Aussage zu einer anderen salva veritate, das heißt, unter Erhaltung des Wahrheitswertes, möglich ist. Ein logisch gültiger Schluss ist ein solcher, der uns aufgrund seiner logischen Form nicht von wahren Prämissen zu einer falschen Konklusion (Schluss, Urteil) führen kann, also wahrheitserhaltend ist.

Daraus ergibt sich ein geläufiges Verfahren zur Überprüfung der Gültigkeit einer Folgerung, nämlich die Suche nach Gegenbeispielen. Gelingt es zu einem Argument, dessen logische Gültigkeit zweifelhaft ist, ein struktur- oder formgleiches Argument zu finden, dessen Prämissen wahr und dessen Konklusion falsch ist, so ist das Argument (und generell das Schlussschema) zu verwerfen.

Inhaltsverzeichnis
1 Verschiedene Bedeutungen von "Logik"
2 Teilgebiete

2.1 Klassische Aussagen- und Prädikatenlogik
2.2 Kalkültypen und logische Verfahren
2.3 Ergänzungen und Alternativen zur klassischen Prädikatenlogik

2.3.1 Philosophische Logiken
2.3.2 Pragmatische Logiken
2.3.3 Nicht-klassische Logiken

2.3.3.1 Intuitionismus, Relevanzlogik und konnexe Logik
2.3.3.2 Mehrwertige und Fuzzy-Logik
2.3.3.3 Nichtmonotone Logiken
2.3.3.4 Possibilistische Logik

3 Formaler Aufbau eines logischen Systems

3.1 Grundkomponenten

3.1.1 Die Signatur Σ
3.1.2 Die Menge der Formeln For(Σ)
3.1.3 Die Menge der Interpretationen Int(Σ)
3.1.4 Die Erfüllungsrelation
3.1.5 Die Ableitbarkeitsrelation
3.1.6 Zusammenhang zwischen Ableitbarkeit und logischer Folge

4 Geschichte der Logik

4.1 Kurzer Abriss

4.1.1 Antike
4.1.2 Mittelalter
4.1.3 Neuzeit
4.1.4 Moderne

4.2 Wichtige Autoren
4.3 Weblinks

5 Weitere Autoren / Forscher / Klassiker
6 Literatur
7 Siehe auch
8 Weblinks

Verschiedene Bedeutungen von "Logik"

In der Geschichte der Philosophie ist oben dargestellte Verwendungsweise des Ausdrucks "Logik" erst seit Beginn des 20. Jahrhunderts üblich. Zuvor wurde der Ausdruck vielfach (etwa bei Georg Wilhelm Friedrich Hegel) eher im Sinne einer allgemeinen Ontologie oder auch Erkenntnistheorie verstanden. Die Logik im modernen Sinne wurde auf der anderen Seite häufig anders bezeichnet, etwa als Analytik, Dialektik oder Logistik. Auch heute noch sind in der Philosophie und den Geisteswissenschaften Wendungen wie Logik der Forschung, Logik der Dichtung u.ä. verbreitet, bei denen unter "Logik" keine Theorie des Folgerns verstanden wird, sondern eine Lehre allgemeiner "Gesetze", die in einem bestimmten Bereich gelten.

Insbesondere in der Tradition der "ordinary language philosophy" wurde unter einer "logischen" Analyse vielfach eine Analyse begrifflicher Zusammenhänge verstanden.

In der Umgangssprache werden Ausdrücke wie Logik oder logisches Denken darüber hinaus in einem sehr viel weiteren oder völlig anderen Sinne verstanden und etwa einem "lateralen Denken" gegenübergestellt. Ebenso in der Umgangssprache gibt es den Begriff der "Frauenlogik", "Männerlogik", der "Affektlogik" und den Begriff der "Alltagslogik" (bekannt auch als "gesunder Menschenverstand"). In diesen Bereichen wird die Logik oft als Logik des Handelns, der Pragmatik, angesehen. Ein Argument wird als logisch bezeichnet, wenn dieses stichhaltig, zwingend, überzeugend, einleuchtend und klar ist. In einem logischen Argument soll die Fertigkeit des Denkens und Begründens zum Ausdruck kommen.

Auch in der gegenwärtigen Debatte ist zwar klar, dass die Theorie des korrekten Folgerns den Kern der Logik ausmacht; umstritten ist jedoch, welche Theorien genau noch zur Logik zu rechnen sind und welche nicht. Strittige Fälle sind etwa die Mengentheorie, die Argumentationstheorie (die sich etwa unter pragmatischer Rücksicht mit Fehlschlüssen beschäftigt) und die unten aufgeführten "philosophischen Logiken".

Teilgebiete

Klassische Aussagen- und Prädikatenlogik

Die wichtigsten Teilgebiete der elementaren formalen Logik sind die klassische Aussagen- und Prädikatenlogik. Während in der Aussagenlogik Aussagen (d.h. wahrheitsfähige Sätze) nicht weiter analysiert werden und nur die verschiedenen Junktoren, die Aussagen miteinander verknüpfen, relevant sind, beruht die Prädikatenlogik auf einer genaueren Unterscheidung zwischen verschiedenen Ausdruckskategorien wie Termen, Funktoren, Prädikatoren und Quantoren.

Die bis zum 19. Jahrhundert dominante Syllogistik, die auf Aristoteles zurückgeht, lässt sich als ein Vorläufer der Prädikatenlogik verstehen.

Kalkültypen und logische Verfahren

Die moderne formale Logik widmet sich der Aufgabe, exakte Kriterien für die Gültigkeit von Schlüssen und die logische Gültigkeit von Aussagen (Tautologien) zu entwickeln. Hierzu wurden verschiedene Verfahren entwickelt.

Insbesondere im Bereich der Aussagenlogik (aber nicht nur) sind semantische Verfahren gebräuchlich, also solche Verfahren, die darauf beruhen, dass den Aussagen ein Wahrheitswert zugeschrieben wird. Hierzu zählen einerseits:

Während Wahrheitstabellen eine vollständige Auflistung aller Wahrheitswertkombinationen vornehmen (und insofern auch nur im aussagenlogischen Bereich verwendbar sind), gehen die beiden übrigen (auch prädikatenlogisch verwertbaren) Verfahren nach dem Schema einer Reductio ad absurdum vor: Wenn eine Tautologie bewiesen werden soll, geht man von ihrer Negation aus und versucht einen Widerspruch abzuleiten. Hier sind drei Varianten gebräuchlich:

Zu den logischen Kalkülen, die ohne semantische Bewertungen auskommen, zählen:

Ergänzungen und Alternativen zur klassischen Prädikatenlogik

Philosophische Logiken

Die klassische Aussagen- und Prädikaten-Logik kann einerseits modifiziert werden, indem man die Sprache um weitere Operatoren für bestimmte Redebereiche anreichert. So beschäftigt sich die Modallogik mit Ausdrücken wie "notwendig" oder "möglich"; die deontische Logik mit "geboten" oder "erlaubt"; die epistemische Logik mit "wissen" und glauben". Diese Logiken werden häufig als philosophische Logiken bezeichnet.

Pragmatische Logiken

In einer wiederum anderen Stellung zur klassischen Prädikaten- und Quantorenlogik stehen pragmatische Logiken, die sich nicht nur mit apophantischen, also wahrheitsfähigen Aussagen, sondern auch mit anderen Sprechakten wie Aufforderungen oder Fragen beschäftigen. Hierzu zählen die Fragelogik, die sich mit Fragen (häufig als Aufforderung zum Machen einer Behauptung verstanden) beschäftigt, sowie die Imperativlogik, die es mit logischen Relationen, die zwischen Aufforderungen bestehen, zu tun hat.


Nicht-klassische Logiken

Intuitionismus, Relevanzlogik und konnexe Logik

Die meistdiskutierten Abweichungen von der klassischen Logik stellen solche Logiken dar, die bestimmte Prinzipien, die in der klassischen Logik gültig sind, problematisieren. Die im engeren Sinne nicht-klassischen Logiken sind „schwächer“ als die klassische Logik.

Hierzu gehören der von L. E. J. Brouwer entwickelte logische Intuitionismus, der die allgemeine Gültigkeit des "tertium non datur"

(TND) \neg p \or p

und, daraus folgend, der "duplex-negatio"-Regel

(DN) \neg\neg p \Rightarrow p

bestreitet, der Minimalkalkül I. Johanssons, in der das "ex falso quodlibet"

(EFQ) \neg p \Rightarrow (p \Rightarrow q)

zurückgewiesen wird, sowie die sich hieran anschließenden Relevanzlogiken, die generell nur solche Implikationen als gültig anerkennen, in denen das Antezedens für das Sukzedens relevant ist. In der Dialogischen Logik und in den Sequenzenkalkülen sind sowohl die Klassischen als auch die nicht-klassischen Logiken durch entsprechende Zusatzregeln ineinander überführbar.

Auf der anderen Seite sind Logiken zu erwähnen, die Prinzipien enthalten, die klassisch nicht gültig sind. So gilt etwa in einer konnexen Logik \neg (p \Rightarrow \neg p) - ein Satz, der trotz seiner hohen Plausibiltät keine klassische Tautologie darstellt. Insofern die klassische Logik maximal-konsistent ist, d.h. insofern jede echte Verstärkung eines klassischen Kalküls zu einem Widerspruch führen wurde, könnte dieser Satz nicht etwa einem klassischen Kalkül als weiteres Axiom hinzugefügt werden; vielmehr müsste ein klassischer Kalkül zunächst schwächer gemacht werden.

Mehrwertige und Fuzzy-Logik

Quer hierzu stehen die mehrwertigen Logiken, in denen der aristotelische "Satz vom Ausgeschlossenen Dritten" außer Kraft gesetzt wird, wie die dreiwertige Logik und die unendlichwertige Logik von Jan Łukasiewicz ("Warschauer Schule"), die in der Fuzzy-Logik praktische Anwendung finden, und die endlichwertige Logik von Gotthard Günther ("Günther-Logik"), die auf Probleme der sich selbst erfüllende Voraussagen in der Soziologie angewandt wird.

Nichtmonotone Logiken

Klassische Logiken wie Aussagen- und Prädikatenlogik verfügen über die Monotonie-Eigenschaft. Diese besagt im Wesentlichen, dass durch Schlussfolgerungen lediglich neues Wissen gewonnen, nicht aber bereits vorhandenes Wissen revidiert werden kann. Was einmal bewiesen wurde, bleibt in einer monotonen Logik immer gültig, auch dann, wenn man zu einem späteren Zeitpunkt über neue Information verfügt.

Nichtmonotone Logiken ermöglichen eine Revidierung gewonnener Erkenntnisse. Haben wir aus den Aussagen "Tux ist ein Vogel" und "Vögel können fliegen" geschlossen, dass Tux fliegen kann, so revidieren wir diesen Schluss, wenn wir die zusätzliche Information "Tux ist ein Pinguin" erhalten. Dies ist freilich nur möglich, wenn wir eine andere Konsequenzoperation verwenden als in einer klassischen Logik. Ein gängiger Ansatz besteht darin, so genannte Defaults zu verwenden. Ein Default-Schluss ist dann gültig, wenn sich nicht aus einem klassisch-logischen Schluss ein Widerspruch zu ihm ergibt.

Die Schlussfolgerung aus dem gegebenen Beispiel würde dann so aussehen: "Tux ist ein Vogel" bleibt die Voraussetzung (prerequisite). Wir kombinieren diese nun mit einer so genannten Begründung (justification): "Vögel können normalerweise fliegen." Aus dieser Begründung schließen wir, dass Tux fliegen kann, solange nichts dagegen spricht. Die Konsequenz lautet also "Tux kann fliegen." Erhalten wir nun die Informationen "Tux ist ein Pinguin" und "Pinguine können nicht fliegen", so ergibt sich ein Widerspruch. Über den Default-Schluss sind wir zu der Konsequenz gelangt, dass Tux fliegen kann. Mit einer klassisch-logischen Schlussweise aber konnten wir nachweisen, dass Tux nicht fliegen kann. In diesem Fall wird der Default revidiert und die Konsequenz des klassisch-logischen Schlusses weiterverwendet. Dieses - hier grob beschriebene - Verfahren wird auch als Reiter'sche Default-Logik bezeichnet.

Possibilistische Logik

In einer possibilistischen Logik werden klassisch-logische Aussagen mit Möglichkeits- und Notwendigkeitsgraden quantifiziert. Man kann dann possibilistische Resolutionsverfahren verwenden, um aus einer Menge possibilistischer Formeln neue possibilistische Aussagen abzuleiten.

Formaler Aufbau eines logischen Systems

Die folgenden Abschnitte beschreiben den formalen Aufbau logischer Systeme. Es wird ein formaler Rahmen geliefert, welcher beliebige Logiken umfasst und so den Vergleich und die Untersuchung der Ausdrucksfähigkeit verschiedener Logiken ermöglicht.

Grundkomponenten

Die Signatur Σ

Die mengentheoretische Intuition hinter dem Begriff der Signatur ist eine Menge aus Namen und Begriffen, durch die alle Elemente einer zu repräsentierenden Wissensbasis W formalisiert werden. Genauer gesagt handelt es sich bei den Elementen einer Signatur um Namen, die nach Prädikaten und Funktoren klassifiziert und nach ihrer Stelligkeit differenziert werden.

Aussagenlogische Signatur

Signaturen in der Aussagenlogik enthalten als Elemente nullstellige Namen oder Bezeichner, die auch als Aussagenvariablen bezeichnet werden.

Beispiel: ΣAL = {Schnee,schneit,Sonne,kalt}

Prädikatenlogische Signatur

Signaturen in der Prädikatenlogik 1. Stufe beinhalten null- und mehrstellige Funktoren und Prädikate. Somit kann eine Signatur in der Prädikatenlogik als Tupel betrachtet werden, wobei git:

Σ=(Func, Pred)

Mit

Aufgrund der Tatsache, dass die Aussagenlogik eine echte Teilmenge der Prädikatenlogik 1. Stufe ist, enthält die Menge aller prädikatenlogischen Signaturen ebenso die Menge aller aussagenlogischen Signaturen als echte Teilmenge. Die Aussagenvariablen können durch nullstellige Funktoren modelliert werden. Diese können atomare Formeln, also die Atome der Aussagenlogik darstellen. Nullstellige Prädikate entsprechen Konstanten. Sei zum Beispiel A = TRUE eine Ausagelogische Formel. Dann ist A eine Aussagevariable, die in der Prädikatenlogik als nullstelliger Funktor modelliert werden kann. TRUE ist eine Konstante, die in der Prädikatenlogik durch ein nullstelliges Prädikat modelliert werden kann.

Beispiel: ΣPL1 = {Schneewegschaufeln(x,y),Mann,Gehweg,Kinder,Einfahrt}

Die Menge der Formeln For(Σ)

Die Menge der Formeln über eine Signatur Σ ist ein wesentlicher Bestandteil eines logischen Systems. Formeln bilden die syntaktische Repräsentation von Objekten der zu repräsentierenden Welt W, von Aussagen über diese Objekte, sowie von Sachverhalten, mit denen die Welt W beschrieben wird. Mit anderen Worten: Durch Formeln kann man auf rein syntaktischer Ebene Aussagen über die zu repräsentierende Welt treffen. Eine wesentliche Eigenschaft der Formeln eines logischen Systems ist ihre Wohlformuliertheit (engl. well-formed formula). For(Σ) enthält alle Formeln, die sich entsprechend der voregebenen Grammatik für Formeln aus den Elementen der Signatur Σ bilden lassen. Genau für diese Formeln gilt die Eigenschaft der Wohlformuliertheit.

Formeln in Aussagenlogik

Handelt es sich bei der Signatur um eine rein aussagenlogische Signatur, d.h. die Signatur enthält ausschließlich Aussagevariablen (= nullstellige Prädikate), so bilden diese selbst bereits atomare aussagenlogische Formeln, die so genannten Literale. Die Menge For(Σ) umfasst bei einer aussagenlogischen Signatur somit die Signatur selbst und alle komplexeren Formen, die entsprechend der Grammatik für Formeln durch logische Verknüpfungen gebildet werden können.

Beispiel:

Sei eine Signatur Σ = {Mo,Di,Mi,Do,Fr,Sa,So} gegeben. So können z.B. die folgenden Formeln gebildet werden:

\neg Mo \Rightarrow Di
\neg Mo \wedge\neg Di \wedge\neg Mi \wedge\neg Do \wedge\neg Fr \Rightarrow Sa \wedge So
Mo \vee Di \vee Mi \vee Do \vee Fr \Rightarrow Sa \vee So
Formeln in Prädikatenlogik

Neben den im vorangegangenen Abschnitt aufgeführten aussagenlogischen Formeln For(ΣAL) können Formeln in der prädikatenlogischen Formelmenge For(Σ) ebenso Variablen und Quantifizierungen über diese Variablen enthalten. Enthält eine Signatur Σ das einstellige Prädikat P(x), so enthält die Formelmenge For(Σ) das Prädikat selbst, sowie existentielle und universelle Quantifizierung der Aussage P über die Individuenvariable x

Beispiel:

Sei eine Signatur Beispiel: = {Vater(x,y), Großvater(x,y)} gegeben und seien x, y, z Variablen, so lässt sich daraus die folgende Formel ableiten: \forall x.\forall y.\forall z:Vater(x,y)\wedge Vater(y,z)\RightarrowGroßvater(x,z)

Sei ferner eine Signatur Σ={liebt(x,y)} gegeben, wobei x, y Variablen für Personen bezeichnen. So lassen sich folgende Sätze durch prädikatenlogische Formeln über dieser Signatur formulieren:

Jeder liebt Jemanden \forall x. \exists y: liebt(x,y)
Jemand liebt Jemanden \exists x. \exists y: liebt(x,y)
Jeder liebt Jeden \forall x. \forall y: liebt(x,y)
Niemand liebt Jeden \neg \exists x. \forall y: liebt(x,y)
Jemand liebt Niemanden \exists x. \neg \exists y: liebt(x,y)
Jemand liebt Jeden \exists x. \forall y: liebt(x,y)
Niemand liebt Jemanden \neg \exists x. \exists y: liebt(x,y)
Niemand liebt Niemanden \neg \exists x. \neg \exists y: liebt(x,y)

Die Menge der Interpretationen Int(Σ)

Die wichtigste Eigenschaft einer Interpretation innerhalb des logischen Systems besteht darin, dass sie, zusammen mit der Erfüllungsrelation, die Verbindung zwischen der Syntax (in Form der Signatur Σ) der Repräsentationssprache und der Semantik von Aussagen herstellt, indem sie die Namen der Signatur zu Objekten einer Wissensbasis W zuweist.

Interpretation in der Aussagenlogik

Bei der Interpretation einer aussagenlogischer Signatur wird jeder Aussagenvariable aus der Signatur Σ ein Wahrheitswert zugeordnet. Diese Zuordnung erfolgt durch eine Interpretation σ für die gilt:

\sigma \in Int(\Sigma) = \Sigma \longrightarrow \{0,1\}

Dabei bezeichnet die Menge Int(Σ) die Menge aller Funktionen von einer gegebenen Signatur Σ nach {0,1}. Diese σ-Interpretation einer Signatur Σ wird auch Belegung genannt, weil durch diese Funktion jeder Aussagenvariable mit einem Wahrheitswert belegt wird.

Interpretation in der Prädikatenlogik

In der PL1 lässt sich der Aufbau einer Interpretation wie folgt beschreiben:

I = (UI,FuncI,PredI)

wobei gilt:

\{f_I: \underbrace{U_I \times\dots\times U_I}_{n-mal} \rightarrow U_I | f \in Func\; mit\; Stelligkeit\; n \in N\}

\{p_I \subseteq \underbrace{U_I \times\dots\times U_I}_{n-mal} \rightarrow U_I | p \in Pred\; mit\; Stelligkeit\; n \in N\}

Eine Interpretation I in PL1 bildet Funktoren und Prädikaten der Signatur auf Objekte der zu repräsentierenden Welt über dem Universum U gemäß folgender Tabelle ab:

Nullstellige Funktoren Elemente aus U
Ein- oder mehrstellige Funktoren Funktionen
Nullstellige Prädikate Belegung mit Wahrheitswert
Einstellige Prädikate Teilmenge von U
Mehrstellige Prädikate Relationen R \subseteq \underbrace{U \times\dots\times U}_{Stelligkeit\; n}

Beispiel:

Seien Signatur Σ = ({eins0,plus2},{gleich2}) mit pi = p, mit Stelligkeit i und Interpretation

(N, \{+ \in N\times N \rightarrow N \}, \{ \{(n,m) \in N\times N | n = m\} \})

gegeben. So gilt:

I(eins) 1\in N = U
I(plus) + \in N\times N \rightarrow N
I(gleich) \{(n,m) \in N\times N | n = m\}= \{(0,0),(1,1), \dots\}

Die Erfüllungsrelation

Zusammen mit der Interpretation einer Signatur stellt die Erfüllungsrelation die Verbindung zwischen den syntaktisch durch Formeln repräsentierten Objekten einer Welt W und deren Semantik in W dar. Eine Erfüllungsrelation gibt an, wann eine Formel in einer Interpretation gilt und ob eine Formel in einer Interpretation wahr oder falsch ist. Da diese Relation eine der Grundkomponenten des logischen Systems ist, stellt jedes logische System eine solche Erfüllungsrelation (satisfaction relation) bereit:

\models_\Sigma \subseteq Int(\Sigma) \times For(\Sigma)

Beispiel:

Sei I1eine Signatur, A ein Literal und gelte I1(A) = 1, dann gilt I_1\models_{\Sigma_{AL}} A.

Überträgt man die Erfüllungsrelation auf eine Relation zwischen Formeln , so erhlt man die logische Folgerung:

\models_\Sigma \subseteq For(\Sigma)\times For(\Sigma)
F \models_\Sigma G \Leftrightarrow \forall I \in \Sigma \longrightarrow \{0,1\}: I \models_\Sigma F \Rightarrow I \models_\Sigma G

Dabei wird F \models_\Sigma Ggelesen als "aus F folgt logisch G" oder "G folgt logisch aus F".

Mittels der Erfüllungsrelation ist es nun möglich, eine Operation zu definieren, die eine Formelmenge auf die Menge aller Formeln abbildet, die logisch aus F folgen. Man bezeichnet diesen Operator als den klassisch-logischen Inferenzoperator. Formal:

Cn : Potenzmenge(For(\Sigma)) \rightarrow Potenzmenge(For(\Sigma))

Eine Formelmenge heißt deduktiv abgeschlossen, wenn sie durch den Inferenzoperator auf sich selbst abgebildet ist, d.h. sie enthällt bereits alle Formeln, die aus ihr heraus ableitbar sind. Man bezeichnet eine solche deduktiv abgeschlossene Formelmenge auch als Theorie.

Die Ableitbarkeitsrelation

Die Ableitbarkeitsrelation (siehe auch Inferenzoperation) besteht genau dann zwischen einer Menge von Formeln Γ und einer einzelnen Formel B, wenn es einen Beweises gibt mit Formeln aus Γ als Prämissen und B als Konklusion. Hierfür schreibt man dann:

\Gamma \vdash_\Sigma \mathrm{B}

Der Beweisbegriff wird mit einem Kalkül definiert. Als Beispiel diene eine Definition mit Hilfe des Hilbertkalküls.

Aussagenlogik

Wir betrachten hier nur das Fragment, das mit den Junktoren \neg und \Rightarrow gebildet wird.

Ein Beweis ausgehend von den Prämissen Γ für die Konklusion B ist eine endliche Folge von Formeln X mit B als letzter Formel, so dass für jedes X gilt:

Prädikatenlogik

Wieder betrachten wir nur ein Fragment diesmal mit dem Quantor \forall.

Es werde die folgenden Axiome hinzugefügt:

\forall x \mathrm{A}^{u \backslash x} \Rightarrow \mathrm{A}^{u \backslash t}

\forall x (\mathrm{A} \Rightarrow \mathrm{B}^{u \backslash x}) \Rightarrow (\mathrm{A} \Rightarrow \forall x \mathrm{B}^{u \backslash x})

und die folgende Schlussregel

es gibt in der Folge vor X einen Eintrag A und X ist identisch mit \mathrm{A}^{u \backslash x}.

Hierbei referiert \mathrm{A}^{u \backslash x} auf das Ergebnis der Ersetzung von u durch x in A. Unterstellt ist durchweg, dass es sich bei A und B um Aussagen handelt (dass A und B also keine freien Variablen enthalten) und dass der Parameter u zur Ersetzung durch die Variable x frei ist

Zusammenhang zwischen Ableitbarkeit und logischer Folge

Bei Ableitbarkeit und logischer Folge handelt es sich um unterschiedliche Charakterisierungen derselben Relation. D.h. es gilt:

\Gamma \vdash_\Sigma \mathrm{B}

genau dann wenn

\Gamma \models_\Sigma \mathrm{B}

Der entsprechende Zusammenhang wird über einen Korrektheits- und einen Vollständigkeitsbeweis etabliert.

Geschichte der Logik

Kurzer Abriss

Antike

Das erste ausgearbeitete System einer formalen Logik war die Logik von Aristoteles. Sein Verdienst um die formale Logik war es, dass er die Formen der Verknüpfung von Gedanken in einem Schluss entdeckte, die er Syllogismus nannte.

Auch führte Aristoteles Variablen in die Logik ein, indem er mit den Buchstaben A den Oberbegriff, mit B den Mittelbegriff und mit C den Unterbegriff des Syllogismus bezeichnete. Das ermöglichte es, die allgemeinsten logischen Regeln und Gesetze aus der Fülle der konkreten Beispiele mit aller Deutlichkeit herauszustellen.

Damit zeigte er, welche Formen der Verknüpfung zur Wahrheit führen, und was man tun muss, um Fehler im mittelbaren Schluss zu vermeiden. Aristoteles nahm die Modi (Modus eines Syllogismus) der ersten Figur des Syllogismus, z.B. Barbara, Celarent, Darii und Ferio, als Ausgangsaxiome und erarbeitete formale Regeln zur Reduktion der Figuren des Syllogismus auf die erste Figur, die er vollkommene nannte und für die augenscheinlichste und überzeugendste Form des Beweises hielt.

Gleichfalls auf Aristoteles geht die (allerdings nicht in seiner Analytik, sondern in seiner Metaphysik entwickelte Lehre von einigen fundamentalen Grundsätzen menschlichen Denkens, die in der traditionellen Logik häufig als Denkgesetze bezeichnet werden. Hierzu zählen der Identitätssatz, der Satz vom Widerspruch, der Satz vom ausgeschlossenen Dritten und der Satz vom zureichenden Grund.

In verschiedenen anderen Werken (in De interpretatione und der 2. Analytik hat sich Aristoteles zudem mit zentralen sprachphilosophisch-logischen Termini wie Urteil und Begriff und allgemeinen Regeln des Beweises (Beweisregeln) und des Widerlegens (Widersprüchlichkeit, logischer Widerspruch, Widerlegung) beschäftigt.

Mittelalter

Eine weitere bedeutende Epoche für die Logik ist das Mittelalter. Im mittelalterlichen Universitätsbetrieb hat die Logik ihren Platz in der sogenannten "Artistenfakultät" (facultas artium). Das Studium der artes ist Voraussetzung für das Studium an allen anderen Fakultäten. Ab etwa der Mitte des 13. Jahrhunderts umfasst der Unterrichtsstoff der Logik drei separate Textkorpora. Bei der logica vetus und der logica nova handelt es sich um überlieferte logische Schriften, insbesondere das Organon des Aristoteles und die Kommentare des Boëthius und des Porphyrius. Die parva logicalia kann man als Eigenschöpfung der mittelalterlichen Logik ansehen. Hier werden abseits der antiken Vorlagen eine ganze Reihe von neuen Problemstellungen aus dem Grenzbereich zwischen Logik und Semantik entwickelt und in voneinander unabhängigen Traktaten diskutiert. Einige gängige Traktattypen seien kurz vorgestellt:

Als bedeutende mittelalterliche Logiker können genannt werden: Petrus Abaelardus, Wilhelm von Ockham und Johannes Buridan.

Neuzeit

In der Neuzeit erlahmt zunächst das Interesse an der Logik. Weit verbreitet ist die Ansicht Immanuel Kants, dass das System der Logik mit der Aristotelischen Syllogistik zum Abschluss gekommen wäre, und dass es hier deshalb nichts weiter zu entdecken gäbe. Dementsprechend wenig hervorragende Logiker werden hervorgebracht, eine Ausnahme ist allerdings Gottfried Wilhelm Leibniz.

Erst Mitte des neunzehnten Jahrhunderts findet die Logik wieder breitere Beachtung, zunächst vor allem in England. Richtungsweisend ist hier George Boole mit dem kürzeren Traktat "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) und seinem späteren Hauptwerk "Laws of Thought" (1854). Booles Idee ist es, Logik als eine Mathematik aufzufassen, die auf die Werte 0 und 1 (wahr und falsch) beschränkt ist. Auf Klassensymbolen können so algebraische Operationen wie Addition, Multiplikation usw. ausgeführt werden. Auf diese Weise entwickelt Boole ein vollständiges System der einstelligen Prädikatenlogik, welches die Syllogistik als Subsystem enthält. Zeitgleich mit Boole veröffentlicht Augustus De Morgan sein Werk "Formal Logic" 1847. De Morgan interessiert sich hier u.a. für eine Verallgemeinerung der Syllogistik auf Aussagen der Form "Die meisten A sind B". Ein weiterer Logiker in England ist John Venn, der sein Buch "Symbolic Logic" mit den berühmten Venn-Diagrammen 1881 veröffentlicht. An der logischen Forschung sind außerdem in Amerika Charles Sanders Peirce und in Deutschland Ernst Schröder beteiligt.

Der eigentliche Durchbruch zur modernen Logik gelingt jedoch Gottlob Frege, der wohl als der neben Aristoteles bedeutendste Logiker überhaupt angesehen werden muss. In seiner "Begriffsschrift" (1879) stellt er zum ersten Mal eine volle Prädikatenlogik erster Stufe mit Identität vor. Außerdem entwickelt er hier die Idee einer formalen Sprache und darauf aufbauend die Idee des formalen Beweises, in dem nach Freges Worten nichts "dem Errathen überlassen" bleibt. Gerade diese Ideen bilden eine ganz wesentliche theoretische Grundlage für die Entwicklung der modernen Computertechnik und Informatik. Freges Werk wird allerdings von seinen Zeitgenossen zunächst kaum wahrgenommen, dies mag u.a. an seiner sehr schwer zu lesenden logischen Notation liegen. In den 1893 und 1903 erschienenen beiden Bänden der "Grundgesetze der Arithmetik" versucht Frege die gesamte Mathematik in einer Art Mengentheorie zu axiomatisieren. Dieses System enthält jedoch einen Widerspruch (die sogenannte Russellsche Antinomie), wie Frege in einem berühmt gewordenen Brief von Bertrand Russel aus dem Jahr 1902 erfahren muss.

Russell selbst bleibt es vorbehalten, zusammen mit Alfred North Whitehead in den "Principia Mathematica" (1910) die erste widerspruchsfreie mengentheoretische Grundlegung der Mathematik vorzulegen. Die Autoren würdigen Frege im Vorwort, ihm verdankten sie das meiste in "logisch-analytischen Fragen". Im Gegensatz zu Freges Werk wird die Principia Mathematica ein durchschlagender Erfolg. Einen Grund hierfür kann man u.a. in der von Russell/Whitehead verwendeten Notation sehen, die zu weiten Teilen heute noch üblich ist. Anstöße zu dieser Notation lieferte Giuseppe Peano, ein weiterer bedeutender Logiker des ausgehenden 19. Jahrhunderts, den Russell im Jahre 1900 bei einem Kongress kennen lernte. Neben seinen Gedanken zur logischen Notation ist Peano vor allem für seine Axiomatisierung der Zahlentheorie (die sogenannten Peano-Axiome) bekannt.

Moderne

Das aussagenlogische Fragment der "Principia Mathematica" dient als Ausgangspunkt für die Entwicklung einer ganzen Reihe metalogischer Begriffe. In seiner Habilitationsschrift von 1918 zeigt Paul Bernays (aufbauend auf der Arbeit David Hilberts) Widerspruchsfreiheit, syntaktische und semantische Vollständigkeit und Entscheidbarkeit und untersucht die Unabhängigkeit der Axiome (wobei er feststellt, dass eines der Axiome tatsächlich abhängig, also überflüssig, ist).

Neben der axiomatischen Methode der "Principia" werden weitere Kalkültypen entwickelt. 1934 präsentiert Gerhard Gentzen sein System des natürlichen Schließens und den Sequenzenkalkül. Hierauf aufbauend entwickelt Edsger W. Beth 1959 den Tableaukalkül. Wiederum an diesem orientiert sich Paul Lorenzen bei seiner Dialogischen Logik.

Die moderne Logik bringt außerdem die Entwicklung einer Semantik der Prädikatenlogik mit sich. Eine wichtige Vorarbeit hierzu stellt das berühmte Löwenheim-Skolem-Theorem dar (zuerst bewiesen von Leopold Löwenheim im Jahr 1915, ein allgemeineres Resultat zeigt Albert Thoralf Skolem 1920). Kurt Gödel beweist 1929 die Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe (Gödelscher Vollständigkeitssatz), 1930 die Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik (Gödelscher Unvollständigkeitssatz). 1933 formuliert Alfred Tarski eine Wahrheitstheorie für die Prädikatenlogik.

Weitere wichtige Ereignisse in der Geschichte der modernen Logik sind die Entwicklung der Intuitionistischen Logik und der Modallogik (siehe dort).

Wichtige Autoren

Weblinks

Weitere Autoren / Forscher / Klassiker

Literatur

Siehe auch

Aequilibrium indifferentiae, A fortiori, Ableitung durch Beschränkung auf einen dritten Begriff, Aktionslogik, Algebraische Logik, Antinomie, Argument, Aussagenlogik, Autologie, Boolesche Funktion, Beschreibungslogik, Contrapositio praedicati, Deduktion, Deduktionstheorem, Dialogische Logik, Dynamische Logik, Epistemische Logik, Fixpunktlogik, Theorie formaler Sprachen, Formalismus, Horn-Klauseln, Hysteresis (Logik), Induktion (Logik), klassische Logik, Konkomitanz, Kontraposition, Logik der Entdeckungen, Paradoxon, Prädikation (Philosophie), Prämissenverbindung, Prämissenverschmelzung, Prämissenvertauschung, Principium positionis, Prinzip des Begriffsumfanges, logische Programmiersprache, Proton pseudos, Prädikatenlogik, Quantenlogik, Resolution (Logik), S (Logik), Semantik, Tableaux, Temporale Logik, Theoretische Informatik, Unifikation, Wissensrepräsentation mit Logik, ab esse ad posse valet - a posse ad esse non valet consequentia

Weblinks

! Kategorie:Wissenschaftstheorie

See also: Logik, 1832, 1839, 1847, 1854, 1878, 1879, 1881, 1889, 1893