Logistische Funktion

Die logistische Verteilungsfunktion charakterisiert eine stetige eindimensionale Verteilung und ist eine funktionelle Darstellung von Sättigungsprozessen aus der Klasse der so genannten Schwanenhalsfunktionen ("S-shaped" functions) mit unbegrenzter zeitlicher Ausdehnung.

Beschreibung

thumb|Logistische Funktion für den Fall G=1, k=1, f(0)=1/2 Die Logistische Funktion beschreibt den Zusammenhang zwischen der verstreichenden Zeit und einem Wachstum, beispielsweise einer ideellen Bakterienpopulation. Hierzu wird das Modell des exponentiellen Wachstums modifiziert durch eine sich mit dem Wachstum verbrauchende Ressource - die Idee dahinter ist also etwa ein Bakteriennährboden begrenzter Größe.

Für dieses Beispiel gilt also: Der begrenzte Lebensraum bildete eine obere Schanke G für die Bakterienanzahl f(t).

Das Bakterienwachstum f'(t) ist proportional zu:

dem aktuellen Bestand f(t)
und der noch vorhandenen Kapazität G - f(t)

Diese Entwicklung wird daher durch eine Differentialgleichung der Form

$f'(t)=k \cdot f(t) \left( G - f(t) \right)$

beschrieben (siehe auch Logistische Gleichung).

Das Lösen dieser Differentialgleichung ergibt:

$f(t)=G \cdot \frac{1}{1+e^{-kGt}\left(\frac{G}{f(0)} - 1\right)}$

Der Graph der Funktion beschreibt eine "S-förmige" Kurve, die auch "Sigmoide" genannt wird.

Am Anfang ist das Wachstum klein, da die Population und somit die Zahl der sich vermehrenden Individuen gering ist. In der Mitte der Entwicklung wächst die Population sehr stark, bis sie durch die sich erschöpfenden Ressource gebremst wird.

Die Logistische Gleichung beschreibt einen sehr häufig auftretenden Zusammenhang und findet weit über die Idee der Beschreibung einer Population von Lebewesen hinaus Anwendung.

Auch der Lebenszyklus eines Produktes im Markt kann mit der Logistischen Funktion nachgebildet werden.

Lösung der Differentialgleichung

$\frac{\operatorname{df}}{\operatorname{dt}}=k \cdot f(t) \left( G - f(t) \right)$

Die Differentialgleichung lässt sich leicht mit dem Verfahren "Trennung der Variablen" lösen:

$\int\frac{1}{f(t)\left( G - f(t) \right)}\operatorname{df}=\int k \cdot \operatorname{dt} + C$

Nach Partialbruchzerlegung erhält man:

$\int\left( \frac{1}{f(t)} + \frac{1}{G - f(t)}\right)\operatorname{df} =\ln\left|f(t)\right| - \ln\left|G - f(t)\right| = \ln\left|\frac{f(t)}{G - f(t)}\right| =kGt + D$

Auf beiden Seiten die Exponentialfunktion anwenden und den Kehrwert bilden:

$\frac{G - f(t)}{f(t)}=\frac{G}{f(t)}-1=c\cdot e^{-kGt}$

Hier kann man die Integrationskonstante c in Abhängigkeit von f(0) ermitteln:

$\frac{G}{f(0)}-1=c$

Zuletzt wird nach f(t) umgeformt und man hat die obige Lösung.

Literatur

Åke Björk, Numerical Methods for Least Squares Problems, SIAM, Philadelphia, 1996 ISBN 0898713609
Draper, Norman R. und Smith Harry: Applied Regression Analysis, Wiley-Interscience, 1998 ISBN 0471170828
Gerhard Opfer, Numerische Mathematik für Anfänger. Eine Einführung für Mathematiker, Ingenieure und Informatiker. 4. Aufl. Vieweg Verlag, Braunschweig 2002 ISBN 3528372656
Volker Oppitz/Volker Nollau: Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung, Carl Hanser Verlag 2003, 400 S., ISBN 3446224637
Volker Oppitz: Gabler Lexikon Wirtschaftlichkeitsberechnung, Gabler-Verlag 1995, 629 S., ISBN 3409199519
Schönfeld, Peter: Methoden der Ökonometrie, Berlin, Frankfurt, 1969
Zeidler E. (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik (bekannt als Bronstein und Semendjajew), Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden 2003 ISBN 3817120052

Kategorie:Numerische Mathematik Kategorie:Statistik

Logistische Funktion

Beschreibung

Lösung der Differentialgleichung

Literatur

See also: Logistische Funktion, Bakterien, Differentialgleichung, Exponentiell, Ideal (Philosophie), Logistische Gleichung, Nährboden, Produktlebenszyklus, Ressource