Logistische Gleichung

Die logistische Gleichung wurde ursprünglich 1837 von Pierre François Verhulst als demographisches Modell eingeführt. Bekannt wurde sie durch eine Seminararbeit des Biologen Robert May aus dem Jahr 1976. Die Gleichung ist ein Beispiel dafür, wie komplexes, chaotisches Verhalten aus einfachen nichtlinearen Gleichungen entstehen kann.

Zur Veranschaulichung dieses Verhaltens wurde das Feigenbaumdiagramm entwickelt. Eine wichtige Rolle spielt dabei die schon 1975 von Mitchell Feigenbaum gefundene Feigenbaumkonstante.

Inhaltsverzeichnis

1 Das demographische Modell

2 Das mathematische Modell

2.1 Verhalten in Abhängigkeit zu r
2.2 Graphische Darstellung

3 Siehe auch

4 Weblinks

Das demographische Modell

Es werden mathematische Gesetzmäßigkeiten gesucht, die die Entwicklung einer Population modellhaft darstellen. Aus der Größe $X n$ der Population zu einem gewissen Zeitpunkt soll auf die Größe $X n + 1$ nach einer Fortpflanzungsperiode (z.B. nach einem Jahr) geschlossen werden.

Das logistische Modell berücksichtigt zwei Einflüsse:

Durch Fortpflanzung vermehrt sich die Population geometrisch; die Individuenzahl im Folgejahr ist proportional zur aktuellen Populationsgröße.
Durch Verhungern verringert sich die Population; die Individuenzahl im Folgejahr ist hier proportional zur Differenz zwischen ihrer aktuellen Größe und einer theoretischen Maximalgröße.

Der erste Prozess allein wird mathematisch beschrieben durch eine durch die Gleichung

$X_{n+1}=X_n \cdot q_f$ , mit einem Wachstumsfaktor

q f

, der die Fruchtbarkeit der Population wiedergibt,

der zweite Prozess allein durch

$X_{n+1}=(G-X_n) \cdot q_v$ , mit einem Faktor

q v

, der die Auswirkungen des Hungers beschreibt.

G

ist dabei die Populationsgröße, bei der alle Individuen in der nächsten Zeitperiode verhungern würden.

Zusammengefasst ergeben diese Prozesse die Gleichung

$X_{n+1}=q_f \cdot q_v \cdot X_n \cdot (G-X_n)$ .

Siehe auch: logistische Funktion

Um die folgenden mathematischen Untersuchungen zu vereinfachen, wird die Populationsgröße $X n$ oft als Bruchteil $x n$ der Maximalgröße $G$ angegeben:

x n = X n : G

;

x n + 1 = X n + 1 : G

An die Stelle der Maximalgröße $G$ tritt dann die Zahl 1. $q f$ und $q v$ werden zusammengefasst zu der Zahl

$r =q_f \cdot q_v$ .

Das mathematische Modell

Damit ergibt sich: $x_{n+1} = r\cdot x_n\cdot(1 - x_n)$ ,

$x n$ ist dabei eine Zahl zwischen $0$ und $1$ . Sie repräsentiert die relative Größe der Population im Jahr n. Die Zahl $x 0$ steht also für die Startpopulation (im Jahr 0). r ist immer eine positive Zahl, sie gibt die kombinierte Auswirkung von Vermehrung und Verhungern wieder.

Verhalten in Abhängigkeit zu r

Bei verschiedenen r können die folgenden Verhaltensweisen für große n beobachtet werden. Dabei hängt dieses Verhalten nicht vom Anfangswert ab, sondern nur von r:

Mit r von 0 bis 1 stirbt die Population in jedem Fall.
Mit r zwischen 1 bis 2 stellt sich ein Grenzwert ein. Die Annäherung an den Grenzwert erfolgt monoton.
Mit r zwischen 2 und 3 nähert sich die Population ihrem Grenzwert wellenförmig, d.h die Werte liegen ab einem bestimmten n abwechselnd über und unter dem Grenzwert.
Mit r zwischen 3 und $1+\sqrt{6}$ (etwa 3,45) wechselt die Folge zwischen zwei Häufungspunkten.
Mit r zwischen $1+\sqrt{6}$ und ungefähr 3,54 wechselt die Folge zwischen vier Häufungspunkten.
Wird r größer als 3,54, stellen sich erst 8, dann 16, 32 usw. Häufungspunkte ein. Die Intervalle mit gleicher Anzahl von Häufigpunkten (Bifurkationsintervalle) werden immer kleiner; das Längenverhältnis zweier aufeinanderfolgender Bifurkationsintervalle nähert sich der Feigenbaumkonstanten. Diese Konstante ist auch in anderen mathematischen Zusammenhängen von Bedeutung. (Zahlenwert: δ ≈ 4.6692016091029906718532038204662016172581...).
Bei r annähernd 3,57 beginnt das Chaos: Perioden sind nicht mehr erkennbar, winzige Änderungen des Anfangswertes resultieren in unterschiedlichsten Folgewerten - eine Eigenschaft des Chaos.
Die meisten Koeffizienten zwischen 3,57 und 4 führen zu chaotischem Verhalten, obwohl für bestimmte r wieder Häufungspunkte vorhanden sind. Beispielsweise existieren in der Nähe von r = 3,82 bei steigendem r erst 3, dann 6, 12 usw. Häufungspunkte. Ebenso gibt es r-Werte mit 5 oder mehr Häufungspunkten - alle Periodendauern tauchen auf.
Für r größer 4 divergiert die Folge für fast alle Anfangswerte und verlässt das Intervall $[0;1]$ .

Graphische Darstellung

Das folgende Bifurkationsdiagramm, bekannt als Feigenbaumdiagramm, fasst diese Beobachtungen zusammen. Die horizontale Achse gibt den Wert des Parameters r an und die vertikale Achse die Häufungspunkte für die Folge $x n$ .

Bifurkationsdiagramm der logistischen Gleichung

Siehe auch

Chaostheorie, Mandelbrot-Menge

Bénard-Experiment