Logarithmische Normalverteilung

thumb|Dichte der Lognormalverteilung

Die logarithmische Normalverteilung (kurz Log-Normalverteilung) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie beschreibt die Verteilung einer Zufallsvariablen X, wenn ln(X) normalverteilt ist.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist

f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\frac{1}{x} e^{-\frac{(lnx-\mu)^2}{2\sigma^2}}

für x > 0, wobei σ die Standardabweichung und μ der Erwartungswert der normalverteilten Zufallsvariablen lnX ist.

Die Lognormalverteilung ist rechtsschief. Ihre Verteilungsparameter sind der Erwartungswert

E(X)= e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}

und die Varianz

\operatorname{var}(X) = e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1) .

Dabei sind μ und σ die Parameter der Normalverteilung der Logarithmen.

Der Median, also die Umkehrfunktion der Verteilung, ist

x(0,5) = eμ .

Je größer die Differenz zwischen Erwartungswert und Median, desto ausgeprägter ist i.a. die Schiefe einer Verteilung. Hier unterscheiden sich diese Parameter um den Faktor e^{\frac{\sigma^2}{2}}. Die Wahrscheinlichkeit für extrem große Ausprägungen ist also bei der Lognormalverteilung hoch.

Inhaltsverzeichnis
1 Anwendungen

1.1 Black-Scholes-Modell
1.2 Einkommensverteilung
1.3 Schätzung von Umsatzziffern von Unternehmen

Anwendungen

Black-Scholes-Modell

Die logarithmische Normalverteilung liegt dem Black-Scholes-Modell zur Preisfeststellung von Finanzoptionen zugrunde.

Einkommensverteilung

Häufig sind Einkommen lognormalverteilt. Ein Grund hierfür ist, dass Einkommenserhöhungen prozentual erfolgen: Große Einkommen werden auf diese Weise stark erhöht, kleinere Einkommen nur wenig. Mit der Zeit bleiben die vielen kleineren Einkommen unten, während die wenigen großen nach oben wegdriften. Deshalb entsteht die rechtsschiefe Verteilung. Das Logarithmieren überführt die multiplikative Struktur in eine additive. Die logarithmierten Werte sind dann normalverteilt.

Ein weiterer Grund ist, daß es einfach viel weniger bestdotierte Positionen gibt, die Hauptmasse sind Jobs mit mehr oder weniger geringem Einkommen, wobei besonders niedrige Einkommen wieder seltener werden. Das entspricht genau dem Verlauf der meisten Lognormalverteilungen. Dieser Umstand kann in jedem operativ funktionierenden Unternehmen überprüft werden.

Schätzung von Umsatzziffern von Unternehmen

Die Logarithmen aller Fakturenbeträge eines Unternehmens folgen annähernd einer Normalverteilung. Der Abstand zwischen dem Logarithmus des kleinsten und dem Logarithmus des größten Fakturenbetrages repräsentiert annähernd die 6-fache Standardabweichung der Normalverteilung der Logarithmen. Dadurch ist es möglich, auf den Mittelwert oder Erwartungswert der Fakturenbeträge (s.o.) der Lognormalverteilung zu schließen. Multiplikation dieses Mittelwertes mit der Anzahl der gültigen Fakturen ergibt in den meisten Fällen einen akzeptablen Schätzwert für die Größenordnung des Umsatzes eines Unternehmens; wertmäßig liegt er tendenziell zu hoch: Da für solche Schätzungen auch das Benfordsche Gesetz (vgl. Benfordsches Gesetz) gelten muß, sollte eher die Benford-Verteilung verwendet werden. Dabei ist zu beachten, daß die Größenordnungen (Stellenwerte) der Rechnungsbeträge nicht gleichverteilt (s.u. Gleichverteilung), sondern annähernd normalverteilt sind.


Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung

See also: Logarithmische Normalverteilung, Benfordsches Gesetz, Black-Scholes-Modell, Differenz, Erwartungswert, Gleichverteilung, Median, Normalverteilt, Normalverteilung, Option (Wirtschaft)