Lp-Raum

In der Mathematik sind L^p-Räume spezielle Banachräume. Das L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Lebesgue zurück, da diese Räume über das Lebesgue-Integral definiert werden. Manchmal werden sie daher auch als Lebesgue-Räume bezeichnet. Das p in der Bezeichnung ist ein reeller Parameter: Für jede Zahl $1\le p \le \infty$ ist ein L^p-Raum definiert.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Wichtige Eigenschaften

3 Verallgemeinerungen

4 Der Hilbertraum L2

Definition

Sei $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum, $E$ ein Banachraum, $1\le p < \infty$ . Die Menge

$\mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal A, \mu; E) := \left\{ f: \Omega \to E: f\, {\rm ist\ messbar}\,, \int_\Omega \|f\|^p \,d\mu < \infty \right\}$

ist ein Vektorraum.

Die Abbildung

$\|f\|_p := \left(\int_\Omega \|f(x)\|^p\,d\mu(x)\right)^{1/p}$

ist eine Halbnorm auf $\mathcal{L}^p$ . Der Raum mit dieser Halbnorm versehen ist vollständig.

$\|\cdot\|_p$ ist genau dann eine Norm, wenn die einzige Nullmenge die leere Menge ist. Gibt es nämlich eine Nullmenge N ungleich der leeren Menge, so ist die charakteristische Funktion 1_N ungleich der Nullfunktion, aber es gilt $\|1_N\|_p=0$ . Um trotzdem einen normierten Raum zu erhalten, definieren wir die Äquivalenzrelation ~ als f ~ g genau dann, wenn f fast überall gleich g ist, also falls die Menge $\{x\in\Omega: f(x)\neq g(x)\}$ eine Nullmenge ist.

Der Faktorraum $L^p:=\mathcal{L}^p/{\sim}$ , versehen mit der Norm $\|[f]\|_p:=\|f\|_p,$ ist ein Banachraum ([f] bezeichnet die Äquivalenzklasse von f). Da es aber zu kompliziert ist, jedesmal von Äquivalenzklassen und Norm von Äquivalenzklassen zu reden bzw. zu schreiben, betrachten wir statt der Äquivalenzklasse [f] die Funktion f selbst. Wir unterscheiden also nicht zwischen $L p$ und $\mathcal{L}^p$ . Aus formalen Gründen müssen wir aber bei der exakten Definition diesen Unterschied machen, wenn wir einen Banachraum erhalten wollen.

Auch für $p = \infty$ kann man einen L^p-Raum definieren. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die aber für σ-endliche Maßräume alle zusammenfallen. Am verbreitesten ist:

$\mathcal{L}^\infty(\Omega, \mathcal A, \mu; E) := \left\{ f: \Omega \to E: f\, {\rm ist\,messbar }\,, \|f\|_{L^\infty} < \infty \right\}$

dabei ist

$\|f\|_\infty := \mathop{\rm ess\,sup}_{x\in\Omega}|f(x)| \left( = \inf_{N\in \mathcal A\atop \mu(N) = 0}\sup_{x\in \Omega\setminus N} |f(x)|\right).$

Betrachten wir analog zu oben $L^\infty:=\mathcal{L}^\infty/\sim$ , erhalten wir wieder einen Banachraum,

Einer der häufigsten Fälle ist, dass $Ω$ eine Teilmenge des euklidischen Raums $R n$ ist, $\mathcal{A}$ die Borelsche σ-Algebra, $μ$ das Lebesgue-Maß und $E$ die reellen Zahlen sind. In diesen Fall besteht der L^p-Raum aus allen messbaren Funktion $f: \Omega \to R$ , für die die L^p-Norm $\|f\|_p$ endlich ist. Statt $μ$ wird dann üblicherweise $λ$ geschrieben.

In der Stochastik betrachtet man L^p-Räume, die mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß P ausgestattet sind. Ist zum Beispiel eine Zufallsvariable X eine L¹-Funktion, so ist der Erwartungswert definiert als

E (X) = \int X d P . Ω

In einem weiteren wichtigen Fall sind $Ω$ die natürlichen Zahlen, und $μ$ das normale Zählmaß. Hier ist der L^p-Raum der Raum aller Zahlenfolgen $(a n)$ , für die die Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n^p$ konvergiert. Diese Räume werden auch oft mit $\ell^p$ bezeichnet.

Einige Autoren schreiben den Parameter p unten statt oben: $L p$ statt $L p$ .

Wichtige Eigenschaften

Alle L^p-Räume für $1\le p \le \infty$ sind Banachräume
Für $1 < p < \infty$ sind die Dualräume der L^p-Räume wieder L^p-Räume, konkret gilt: Der Dualraum von

L^p ist der Raum L^q, wobei q die Gleichung $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} =1$ erfüllt.
Genauer gilt: Für reflexive Banachräume $E$ und $1 < p < \infty$ ist

$L^p(\Omega,\mathcal A,\mu; E)^* \cong L^q(\Omega, \mathcal A, \mu; E^*)$

und der kanonische isometrische Isomorphismus ist durch

$L^q(\Omega, \mathcal A, \mu; E^*)\ni f \mapsto \left(g \mapsto \int_\Omega\! \langle g(x),f(x)\rangle_E\, d \mu(x)\right) \in L^p(\Omega,\mathcal A, \mu; E)^*$

gegeben.

Daraus folgt, dass für $1< p < \infty$ die L^p-Räume reflexiv sind.
Der Fall p=2 ist ein Sonderfall: Der L² ist nämlich sogar ein Hilbertraum (siehe unten).
Die Räume $L 1$ und $L^\infty$ sind nicht reflexiv.

Verallgemeinerungen

Es gibt auch die Verallgemeinerung der L^p-Räume für $0 < p < 1$ . Diese sind allerdings keine Banachräume mehr, weil die entsprechende Definition keine Norm liefert, sondern nur eine Quasi-norm.

Der Hilbertraum L²

Sei $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum, $(H, (\cdot,\cdot)_H)$ ein Hilbertraum (häufig $\mathbb C$ mit dem Skalarprodukt $(w,z) \mapsto w\overline z$ ) und $f,g\in L^2(\Omega, \mathcal{A}, \mu;H)$ . Dann definiert

$(f,g)_{L^2(\Omega,\mathcal A, \mu; H)}:=\int_\Omega (f(x),g(x))_H\, d\mu(x)$

ein Skalarprodukt auf L². Dieser Raum ist bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm vollständig und damit selbst wieder ein Hilbertraum.

E(X) =	∫	XdP.
	Ω

Lp-Raum

Definition

Wichtige Eigenschaften

Verallgemeinerungen

Der Hilbertraum L2

See also: Lp-Raum, Banachraum, Borelsche σ-Algebra, Charakteristische Funktion, Dualraum, Erwartungswert, Faktorraum, Hilbertraum, Isometrie, Isomorphismus

Der Hilbertraum L²