Lucas-Folge

Unter der Lucas-Folge versteht man zwei unterschiedliche Dinge, nämlich einmal die beiden allgemeinen Lucas-Folgen U(P,Q) und V(P,Q), und andererseits die spezielle Lucas-Folge: 2 1 3 4 7 11 18 29 ..., die mit der Fibonacci-Folge zusammen hängt. Die Lucas-Folge ist nach dem französischen Mathematiker Edouard Lucas benannt, der sich als erste mit ihr beschäftigt hat.

Inhaltsverzeichnis
1 Vorbemerkung
2 Einleitung
3 Die allgemeinen Lucas-Folgen

3.1 Eigenschaften

3.1.1 U0, U1 und V0 sind definiert
3.1.2 Die allgemeine Lucas-Folge Vn(P,Q) und die Primzahl

3.2 Anwendungen der allgemeinen Lucas-Folgen

4 Die spezielle Lucas-Folge
5 Siehe auch
6 Literatur
7 Weblinks

Vorbemerkung

Die allgemeine Lucas-Folge hat zum einen mit quadratischen Gleichungen zu tun, und andererseits ist es zum Verständnis von Vorteil, ableiten (Differentialrechnung) zu können.

Einleitung

Eine quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 läßt sich nach der pq-Formel lösen:

x_1 = - \frac{p}{2} + \sqrt{ \frac{p^2}{4} - q}

und

x_2 = - \frac{p}{2} - \sqrt{ \frac{p^2}{4} - q}

Dabei bezeichnet man \frac{p^2}{4} - q als die Diskriminante d

So lassen sich also über die quadratische Gleichung x2 − px + q = 0, bei vorgegebenen P und Q die entsprechenden a und b berechnen:

a = \frac{P}{2} + \sqrt{ \frac{P^2}{4} - Q} = \frac{P + \sqrt{P^2 - 4Q}}{2}

und

b = \frac{P}{2} - \sqrt{ \frac{P^2}{4} - Q} = \frac{P - \sqrt{P^2 - 4Q}}{2}

Mit anderen Worten: Die Parameter P und Q und die Werte a und b sind von einander abhängig.

Die allgemeinen Lucas-Folgen

Das Glied einer allgemeinen Lucas-Folge Un(P,Q) berechnet sich nach folgender Formel:

U_n(P,Q)=\frac{a^n-b^n}{a-b}

für alle n \ge 0

Das Glied einer allgemeinen Lucas-Folge Vn(P,Q) berechnet sich nach folgender Formel:

Vn(P,Q) = an + bn

für alle n \ge 0

Die Folgen U(P,Q) = (U_n(P,Q))_{n \ge 1} und V(P,Q) = (V_n(P,Q))_{n \ge 1} bezeichnet man dabei als Lucas-Folgen assoziiert zum Paar (P,Q).

P Q a b U(P,Q) V(P,Q)
1 -1 \frac{1+\sqrt{5}}{2} \frac{1-\sqrt{5}}{2} Fibonacci-Folge Lucas-Folge
3 2 2 1 2n-1 Folge 2n+1 Folge
2 -1 1+\sqrt{2} 1-\sqrt{2} Pell-Folge Companion Pell-Folge
1 -2 \frac{1+\sqrt{9}}{2} \frac{1-\sqrt{9}}{2} Jacobsthal-Folge
3 -10 5 -2 (Sequenz A015528 in OEIS)
4 -5 5 -1 (Sequenz A015531 in OEIS)
5 -6 6 -1 (Sequenz A015540 in OEIS)
8 -9 9 -1 (Sequenz A015577 in OEIS)

Eigenschaften

U0, U1 und V0 sind definiert

Unabhängig von P und Q sind U0(P,Q),U1(P,Q) und V0(P,Q) definiert:

U_0 = \frac{a^0 - b^0}{a - b} = \frac{1 - 1}{a - b} = \frac{0}{a - b} = 0
U_1 = \frac{a^1 - b^1}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} = \frac{1}{1} = 1
V0 = a0 + b0 = 1 + 1 = 2

Die allgemeine Lucas-Folge Vn(P,Q) und die Primzahl

Für alle Lucas-Folgen Vn(P,Q) = an + bn mit P>0 und Q=1 oder Q=(-1) gilt, das wenn n eine Primzahl ist, das n (Vn(P,Q) − P) teilt. Oder anders ausgedrückt:

V_n(P,Q) \equiv P \mod n

für alle n die Primzahlen sind.

Besonders interessant ist dies für die Folge Vn(3,2) = an + bn = 2n + 1. Für diese Folge gilt nämlich:

Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt: n teilt 2n + 1 − 3 = 2n − 2.

Dies ist eine spezielle Form des kleinen Fermatschen Satz.

Anwendungen der allgemeinen Lucas-Folgen

Die allgemeinen Lucas-Folgen spielen in der Zahlentheorie und der Kryptographie eine Rolle.

Siehe auch: Lucas-Lehmer-Test, Lucassche Pseudoprimzahl, Fibonacci-Folge, Jacobsthal-Folge, Pell-Folge

Die spezielle Lucas-Folge

Die allgemein als Lucas-Folge bekannte Folge Ln der Lucas-Zahlen 2 1 3 4 7 11 18 29 ... läßt sich auf unterschiedlichste Art und Weise erzeugen:

  1. Über die Formel von Binet: 
L_n = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n
 die sich aus der allgemeinen Lucas-Folge Ln = Vn( − 1,1) = an + bn mit a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} und b = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} ableiten läßt
  1. Über die rekursive Formel, die der rekursiven Formel für die Fibonacci-Folge gleicht: 
Ln = Ln − 1 + Ln − 2
  1. Über eine Potenz des goldenen Schnitt 
Ln = Φn
  1. Eine andere rekursive Formel: 
L_{n+1} = \left[\frac{L_n(1+\sqrt{5})+1}{2}\right]
  1. Die Lucas-Folge: ... 2 1 3 4 7 11 18 29 ... läßt sich auch als Summe zweier verschobener Fibonacci-Folgen darstellen: 
   ... 1 1 2 3 5  8 13 21 34 55 ...
 +  ... 1 0 1 1 2  3  5  8 13 21 ...
 -----------------------------------
 =  ... 2 1 3 4 7 11 18 29 47 71 ...


Die Folge ist nach dem französischen Mathematiker Edouard Lucas (1842-1891) benannt, nachdem auch die allgemeinen Lucas-Folgen benannt sind, und der sich intensiv mit Zahlentheorie beschäftigte.

Siehe auch

Literatur

Weblinks


See also: Lucas-Folge, Edouard Lucas, Fibonacci-Folge, Kleiner Fermatscher Satz, Lineare Differenzengleichung, OEIS, Pell-Folge, Pq-Formel, Primzahl, Quadratische Gleichung