Mandelbrot-Menge

Die Mandelbrot-Menge, im allgemeinen Sprachgebrauch oft auch "Apfelmännchen" genannt, ist ein Fraktal, das in der Chaostheorie eine bedeutende Rolle spielt. Es wurde 1980 von Benoît Mandelbrot erstmals computergrafisch dargestellt und untersucht. Die mathematischen Grundlagen dafür wurden bereits 1905 von dem französischen Mathematiker Pierre Fatou erarbeitet.

Außerhalb der Fachwelt wurde die Mandelbrot-Menge vor allem durch den hohen ästhetischen Reiz dieser Computergrafiken bekannt, der durch geschickte Farbgestaltung des Außenbereichs, der nicht zur Menge gehört, noch erhöht wird. Die Mandelbrot-Menge wird oft als das formenreichste geometrische Gebilde bezeichnet, das überhaupt bekannt ist. Dieser außerordentliche Formenreichtum zeigt sich an stark vergrößerten Ausschnitten des Randes, die überdies schöne Beispiele für das Konzept der Selbstähnlichkeit bei Fraktalen liefern. Trotz dieser offensichtlichen hohen inneren Ordnung wurde die Mandelbrot-Menge zum Symbol für das mathematische Chaos, einem vom Laien meist missverstandenen Begriff.

thumb|320px|Mandelbrot-Menge mit farbig dargestellter Umgebung

Inhaltsverzeichnis
1 Definition

1.1 Definition über Rekursion
1.2 Definition über Julia-Mengen
1.3 Verallgemeinerte Mandelbrot-Mengen

2 Verhalten der Zahlenfolge

2.1 Geometrische Zuordnung
2.2 Bezug zur Chaostheorie

3 Geometrische Eigenschaften
4 Grafische Darstellung
5 Programmbeispiel

5.1 Iteration über alle Bildpunkte
5.2 Iteration eines Bildpunktes
5.3 Modifikation

6 Literatur
7 Weblinks

Definition

Definition über Rekursion

Die Mandelbrot-Menge M ist die Menge aller komplexen Zahlen c, für die die rekursiv definierte Folge komplexer Zahlen z0, z1, z2, ... mit dem Bildungsgesetz

zn+1 := zn2 + c

und der Anfangsbedingung

z0 := 0

beschränkt bleibt, das heißt, der Betrag der Folgenglieder wächst nicht über alle Grenzen. Die grafische Darstellung dieser Menge erfolgt in der komplexen Ebene. Die Punkte der Menge werden dabei schwarz dargestellt und der Rest farbig, wobei die Farbe eines Punktes den Grad der Divergenz der zugehörigen Folge widerspiegelt (siehe unten).

Definition über Julia-Mengen

Die Mandelbrot-Menge M wurde von Benoît Mandelbrot ursprünglich zur Klassifizierung von Julia-Mengen eingeführt, die bereits Anfang des 20. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Julia und Fatou untersucht wurden. Die Julia-Menge Jc zu einer bestimmten komplexen Zahl c ist definiert als die Menge der Anfangswerte z0, für die die obige Zahlenfolge beschränkt bleibt. Man kann beweisen, dass die Mandelbrot-Menge M genau die Menge der Werte c ist, für die die zugehörige Julia-Menge Jc einfach zusammenhängend ist.

Verallgemeinerte Mandelbrot-Mengen

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird die oben definierte Menge M als die Mandelbrot-Menge bezeichnet. Verwendet man anstelle des obigen Bildungsgesetzes die Rekursionsregel

zn+1 := fc(zn)

mit einer von einem komplexen Parameter c abhängige Abbildung fc innerhalb der komplexen Zahlen, so lässt sich in analoger Weise eine zu dieser Abbildung gehörige Mandelbrot-Menge und entsprechende Julia-Mengen definieren.

Dieses Verfahren kann auch für Funktionen mit mehr als einem komplexen Parameter c erweitert werden. Allerdings ist dann eine grafische Darstellung in zwei Dimensionen nicht mehr möglich.

Die folgenden Ausführungen beziehen sich nur auf üblicherweise betrachtete Mandelbrot-Menge.

Verhalten der Zahlenfolge

thumb|right|320px|Mandelbrot-Menge in der komplexen Ebene. Perioden von Grenzzyklen sind gelb angegeben. Je nach Wert von c ergibt sich eine der folgenden vier Verhaltensweisen für die Zahlenfolge:

  1. Sie strebt gegen einen festen Wert (Konvergenz).
  2. Sie konvergiert gegen einen periodischen Grenzzyklus, der aus 2 oder mehr Zahlen besteht.
  3. Sie zeigt chaotisches Verhalten, das heißt sie wiederholt sich nie, bleibt aber beschränkt.
  4. Sie strebt gegen Unendlich (bestimmte Divergenz).

Geometrische Zuordnung

Konvergenz liegt genau für die Werte von c vor, die die Zykloide bilden, den "Körper" des Apfelmännchens. Periodische Grenzzyklen findet man beispielsweise in den kreisförmigen "Extremitäten" bzw. im "Kopf". Chaotisches Verhalten findet sich in den Punkten, die zu den filigranen Strukturen gehören wie beispielsweise Bereiche der "Antenne" auf dem "Kopf", die auf der reellen Achse bis zum Punkt c=-2 reicht.

Bezug zur Chaostheorie

[[Bild:Mandelbrot-Menge_Bifurkationsdiagramm.png|thumb|right|320px|Grenzzyklen für reelle c-Werte. Konvergenz geht über Bifurkation in Chaos über.]] Das Bildungsgesetz, das der Folge zugrunde liegt, ist die einfachste nichtlineare Gleichung, anhand der sich der Übergang von Ordnung zu Chaos durch Variation eines Parameters provozieren lässt. Dazu genügt es, sich auf reelle Zahlen zu beschränken. Für Werte c>=-0,75 konvergiert die Folge. Der Übergang zu chaotischem Verhalten erfolgt nun über ein Zwischenstadium mit periodischen Grenzzyklen. Dieses Verhalten, das man als Periodenverdopplung und Bifurkation bezeichnet, ist typisch für den Übergang realer Systeme zu chaotischer Dynamik. Die Mandelbrot-Menge ist daher ein elementares Objekt für die Chaostheorie, und wird hinsichtlich ihrer Bedeutung mit der von Geraden für die euklidische Geometrie verglichen.

Geometrische Eigenschaften

Der ungeheure Formenreichtum der Mandelbrot-Menge erschließt sich aus dem Bezug zu Julia-Mengen. Julia-Mengen zu c-Werten aus dem Randbereich der Mandelbrot-Menge sind Fraktale. Die Formen dieser fraktalen Strukturen sind innerhalb einer Julia-Menge stets die gleichen, umspannen aber für Julia-Mengen zu verschiedenen c-Werten einen enormen Formenreichtum. Es zeigt sich, dass die Strukturen der Mandelbrot-Menge in der Umgebung eines bestimmten Wertes c genau jene Strukturen der zugehörigen Julia-Menge Jc wiedergeben. Damit enthält die Mandelbrot-Menge den kompletten Formenreichtum der unendlich vielen Julia-Mengen.

thumb|320px|Satellit der Mandelbrot-Menge, 3200fache Vergrößerung In den fraktalen Strukturen am Rand findet man verkleinerte Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, so genannte Satelliten. Jeder Bildausschnitt der Mandelbrot-Menge, der sowohl Punkte aus M als auch solche außerhalb M umfasst, enthält unendlich viele dieser Satelliten. Es zeigt sich, dass unmittelbar am Rand eines Satelliten fast die gleichen Strukturen auftreten wie an den entsprechenden Stellen des Originals. Diese Strukturen sind jedoch nach weiter außen hin mit den Strukturen kombiniert, die für die größere Umgebung des Satelliten typisch sind. Diese Situation wird gelegentlich mit der eines biologischen Organismus und seiner Gene verglichen. Danach entspricht jedem Satelliten die Erbsubstanz einer Zelle, die den Bauplan für den kompletten Organismus enthält, während nach außen hin nur die Strukturen des lokalen Organs exprimiert sind. Es handelt sich dabei jedoch um ein rein formales Gleichnis ohne kausalen Hintergrund.

Da jeder Satellit wiederum Satelliten höherer Ordnung enthält, lässt sich immer eine Stelle finden, an der eine beliebige Anzahl beliebiger verschiedener Strukturen in beliebiger Reihenfolge kombiniert auftritt. Diese Strukturen sind dann allerdings nur bei extremer Vergrößerung erkennbar.

Die Mandelbrot-Menge ist spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Sie ist einfach zusammenhängend, das heißt sie bildet weder Inseln noch hat sie Löcher. Ihre fraktalen Strukturen sind zwar selbstähnlich, es gibt aber keine zwei Teilstrukturen, die exakt gleich sind.

Die Mandelbrot-Menge hat die fraktale Dimension 2. Das ist nicht besonders erstaunlich, da die Zykloide und alle Satelliten komplette Kreise enthalten. Die Fläche der Mandelbrot-Menge ist nicht einfach zu bestimmen und beträgt etwa 1.506. Interessanter ist dagegen der Rand der Mandelbrot-Menge, der unendlich lang ist. Es gibt einen Beweis, dass die Hausdorff Dimension des Randes ebenfalls 2 ist. Numerische Annäherungen legen dies auch für die Box-Dimension nahe. Das bedeutet noch nicht, dass der Rand auch eine endliche Fläche hat, obwohl dies eine zeitlang vermutet wurde.

Grafische Darstellung

Die grafische Darstellung der Mandelbrot-Menge und ihrer Strukturen im Randbereich ist nur mittels Computer möglich. Dabei entspricht jedem Bildpunkt ein Wert c der komplexen Ebene. Der Computer ermittelt für jeden Bildpunkt, ob die zugehörige Folge divergiert oder nicht. Sobald ein Zahlenwert der Folge den Betrag von R=2 überschreitet divergiert die Folge. Die Zahl der Iterationsschritte N gemäß obiger Rekursionsformel, nach denen das erfolgt, kann als Maß für den Divergenzgrad herangezogen werden. Über eine zuvor festgelegte Farbtabelle, die jedem Wert N eine Farbe zuordnet, wird dem Bildpunkt eine Farbe zugewiesen. Um harmonische Grenzen zwischen aufeinanderfolgenden Farben zu erreichen, wird in der Praxis für die Grenze R ein Wert R>>1 gewählt. In diesem Fall bilden die Farbgrenzen übrigens Äquipotenzialflächen, die man erhalten würde, wenn man die Mandelbrot-Menge als elektrisch geladenen Leiter interpretieren würde.

Da die Zahl der Iterationsschritte N, nach der die Grenze R überschritten wird, beliebig groß sein kann, muss für die praktische Durchführung der Rechnung ein Abbruchkriterium in Form einer maximalen Zahl von Iterationsschritten festgelegt werden. Werte von c deren Folgen danach die Grenze R noch nicht überschritten haben, werden zu M gerechnet. Je geringer der Abstand von c zu M ist, umso größer ist die Zahl N nach der R überschritten wird. Je stärker die Vergrößerung ist, mit der man den Rand von M darstellen möchte, umso größer muss in diesem Fall die maximalen Zahl von Iterationsschritten gewählt werden, und umso größer fällt auch die Rechenzeit aus.

Grafisch besonders reizvoll ist die Darstellung des Randes von M mit seinem Formenreichtum. Je stärker die gewählte Vergrößerung ist, umso komplexere Strukturen lassen sich dort finden. Mit entsprechenden Computerprogrammen lässt sich dieser Rand wie mit einem Mikroskop mit beliebiger Vergrößerung darstellen. Die beiden einzigen künstlerischen Freiheiten, die dabei bestehen, sind die Wahl des Bildausschnittes sowie die Zuordnung von Farben zum Divergenzgrad.

Programmbeispiel

Iteration über alle Bildpunkte

Das folgende Programmbeispiel geht davon aus, dass die Pixel des Ausgabemediums durch Koordinaten pix_x und pix_y mit einem Wertebereich von 1 bis jeweils max_x und max_y adressierbar sind. Die Berechnung des dem Pixel zugeordneten komplexen Zahlenwerts c mit dem Realteil cx und dem Imaginärteil cy erfolgt mittels geometrischer Überlegungen.

Die maximale Anzahl von Iterationsschritten ist max_iterationen. Wird dieser Wert überschritten, so wird das entsprechende Pixel der Menge M zugeordnet. Der Wert von max_iterationen sollte mindestens 100 betragen. Bei stärkerer Vergrößerung sind zur korrekten Darstellung der Strukturen unter Umständen erheblich größere Werte erforderlich und damit auch deutlich größere Rechenzeiten. 

FOR pix_x = 1 TO max_x
   FOR pix_y = 1 TO max_y
 
     cx = min_cx + pix_x * punkt_abstand_x
     cy = min_cy + pix_y * punkt_abstand_y
 
     iterations_wert = punkt_iteration ( cx, cy, max_betrags_quadrat, max_iterationen )
 
     farb_wert = waehle_farbe ( iterations_wert, max_iterationen )
 
     plot pix_x pix_y farb_wert
 
   NEXT pix_y
 NEXT pix_x

Iteration eines Bildpunktes

Die Iteration von n nach n+1 für einen Punkt c der komplexen Zahlenebene erfolgt mittels der komplexen Gleichung

\begin{matrix} z_{n+1} &=& z_n^2 + c && \end{matrix},

die sich mittels der Zerlegung der komplexen Zahl z in ihren Realteil x und Imaginärteil y in zwei reelle Gleichungen

\begin{matrix} x_{n+1} &=& x_n^2 - y_n^2 + c_x && \end{matrix}

und

\begin{matrix} y_{n+1} &=& 2 x_n y_n + c_y && \end{matrix}

umwandeln lässt.

Falls das Quadrat des Betrags der (n+1)-sten Zahl, gegeben durch

\begin{matrix} |z_{n+1}|^2 &=& x_{n+1}^2 + y_{n+1}^2 && \end{matrix}

den Wert max_betrag_quadrat (mindestens 2*2=4) überschreitet, wird die Iteration abgebrochen, und die Anzahl der bislang erfolgten Iterationssschritte für die Zuordnung eines Farbwertes verwendet. Falls das Quadrat des Betrags nach einer gegebenen maximalen Anzahl von Iterationsschritten den max_betrag_quadrat nicht überschritten hat, wird angenommen, dass die Iteration beschränkt bleibt, und die Iterationsschleife abgebrochen.

Die folgende Funktion führt die beschriebene Iteration durch. x und xt sowie y und yt sind die iterativ benutzten Variablen für die Iterationswerte. 

FUNCTION punkt_iteration (cx, cy, max_betrag_quadrat, max_iter)
 
    betrag_quadrat = 0
    iter = 0
    x = 0
    y = 0
 
    WHILE ( betrag_quadrat <= max_betrag_quadrat ) AND ( iter < max_iter )
      xt = x * x - y * y + cx
      yt = 2 * x * y + cy
      iter = iter + 1
      betrag_quadrat = xt * xt + yt * yt
      x = xt
      y = yt
    WEND
 
    punkt_iteration = iter
 
 END FUNCTION

Modifikation

Wenn man die Darstellung nicht von den Koordinaten ix und iy abhängig macht, sondern von den in der Iteration gewonnenen Werte xt und yt, so werden anstelle der Mandelbrot-Menge plötzlich Spiralen und Galaxien sichtbar. Dieses Feature wird von einigen professionellen Software-Implementierungen der Mandelbrot-Menge unterstützt.

Literatur

Siehe auch: Fraktale Geometrie

Weblinks

See also: Mandelbrot-Menge, 1905, 1980, Achsensymmetrie, Benoit Mandelbrot, Benoît Mandelbrot, Beschränktheit, Beweis (Mathematik), Bifurkation (Mathematik), Chaos (Mathematik)