Mitte
Dieser Artikel befasst sich mit der Mitte als Begriff der Geometrie und der Physik; andere (insbesondere geographische) Bedeutungen unter Mitte (Begriffsklärung).
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Mitte drückt eine geometrische Beziehung zwischen drei (direkt) beteiligten Beobachtern (z.B. A, B und M) aus: man sagt, dass (unter bestimmten Umständen bzw. auf Grund bestimmter gegebener Beobachtungen) M die Mitte zwischen A und B darstellte.
Anwendung
Der Mitte-Begriff hat entscheidende Bedeutung für die Quantifizierung geometrischer Beziehungen im Rahmen der Relativitätstheorie; insbesondere zur Definition bzw. Feststellung von Gleichzeitigkeit von Anzeigenpaaren, der Gleichheit von Dauer-Messwerten, als auch der Gleichheit von Distanz-Messwerten:
- Eine bestimmte Anzeige As, A_signal, und eine bestimmte Anzeige Bs, B_zeichen heißen dann und nur dann zueinander gleichzeitig, falls jemand (M) die Mitte zwischen A und B darstellte, und M dabei diese beiden Anzeigen zusammen wahrnahm;
- falls M die Mitte zwischen A und B darstellte, und A und B dabei zueinander ruhten, dann gilt dabei zu jeder Anzeige As, A_*, und zu jeder Anzeige Bs, B_*:
- ½ Dauer_As( seit A_*, bis A_sah_B_sah_A_* ) =
Dauer_As( seit A_*, bis A_sah_M_sah_A_* ) =
Dauer_Bs( seit B_*, bis B_sah_M_sah_B_* ) =
½ Dauer_Bs( seit B_*, bis B_sah_A_sah_B_* ); und
- unter gewissen Bedingungen an Messwerte, die den Brechungsindex der A, B und M enthaltenden Region betreffen, gilt schließlich
Distanz( A M ) = Distanz( B M ) = ½ Distanz( A B ).
Die Benutzung des Mitte-Begriffs in solchen Aussagen zur Quantifizierung geometrischer Beziehungen setzt natürlich voraus, dass dessen Definition selbst wiederum ohne Auswertung von Gleichzeitigkeit gewisser Anzeigenpaare und ohne Vergleiche von Dauer oder von Distanz anzugeben und nachvollziehbar ist; nämlich folgendermaßen (wieder in Bezug auf die drei direkt beteiligten Beobachtern A, B und M, und ausschließlich unter Einsatz von Begriffen und Messergebnissen, die jeweils jedem einzelnen beteiligten Beobachter nachvollziehbar und auswertbar sind):
Definition
Beobachter M gilt als Mitte zwischen den Beobachtern A und B, jeweils in einem bestimmten, von den beteiligten Beobachtern jeweils einzeln zu identifizierenden Versuch, genau dann und nur dann falls:
- A stellte eine bestimmte Anzeige (als) A_Versuchsbeginn dar,
B stellte eine bestimmte Anzeige (als) B_Versuchsanfang dar,
ein (Hilfs-)Beobachter, J, stellte eine bestimmte Anzeige (als) J_Versuchsinitialisierung dar, und
ein weiterer, von J verschiedener (Hilfs-)Beobachter, K, stellte eine bestimmte Anzeige (als) K_Versuchsauslösung dar. - M nahm die vier Anzeigen A_Versuchsbeginn, B_Versuchsanfang, J_Versuchsinitialisierung und K_Versuchsauslösung zusammen wahr; als Anzeige M_Versuchsstart.
- A nahm die beiden Anzeigen B_Versuchsanfang und M_Versuchsstart zusammen wahr.
- B nahm die beiden Anzeigen A_Versuchsbeginn und M_Versuchsstart zusammen wahr.
- J nahm die beiden Anzeigen K_Versuchsauslösung und M_Versuchsstart zusammen wahr.
- K nahm die beiden Anzeigen J_Versuchsinitialisierung und M_Versuchsstart zusammen wahr.
- M nahm die vier Anzeigen A_sah_M_Versuchsstart, B_sah_M_Versuchsstart, J_sah_M_Versuchsstart und K_sah_M_Versuchsstart zusammen wahr.
- A nahm die beiden Anzeigen B_sah_A_Versuchsbeginn und M_sah_A_sah_M_Versuchsstart zusammen wahr.
- B nahm die beiden Anzeigen A_sah_B_Versuchsanfang und M_sah_B_sah_M_Versuchsstart zusammen wahr.
- J nahm die beiden Anzeigen K_sah_J_Versuchsinitialisierung und M_sah_J_sah_M_Versuchsstart zusammen wahr.
- K nahm die beiden Anzeigen J_sah_K_Versuchsauslösung und M_sah_K_sah_M_Versuchsstart zusammen wahr.
- J und K nahmen jede Anzeige As aus dem Intervall (seit A_Versuchsbeginn, bis A_sah_B_Versuchsanfang) wahr; und
für jede dieser Anzeigen, A_*, nahm A jeweils die beiden Anzeigen J_sah_A_* und K_sah_A_* zusammen wahr. - J und K nahmen jede Anzeige Bs aus dem Intervall (seit B_Versuchsanfang, bis B_sah_A_Versuchsbeginn) wahr; und
für jede dieser Anzeigen, B_*, nahm B jeweils die beiden Anzeigen J_sah_B_* und K_sah_B_* zusammen wahr. - A und B nahmen jede Anzeige Js aus dem Intervall (seit J_Versuchsinitialisierung, bis J_sah_K_Versuchsauslösung) wahr; und
für jede dieser Anzeigen, J_*, nahm J jeweils die beiden Anzeigen A_sah_J_* und B_sah_J_* zusammen wahr. - A und B nahmen jede Anzeige Ks aus dem Intervall (seit K_Versuchsauslösung, bis K_sah_Versuchsinitialisierung) wahr; und
für jede dieser Anzeigen, K_*, nahm K jeweils die beiden Anzeigen A_sah_K_* und B_sah_K_* zusammen wahr. - Während Intervall (seit J_Versuchsinitialisierung, bis J_sah_K_sah_J_Versuchsinitialisierung) traf sich J nicht mit K.
- Während Intervall (seit K_Versuchsauslösung, bis K_sah_J_sah_K_Versuchsauslösung) traf sich K nicht mit J.
Falls gefunden wurde, dass all diese Bedingungen jeweils für eine bestimmte Anzeige jedes der beteiligten Beobachter erfüllt waren, dann gelten die entsprechenden Anzeigen As, Bs, Js, Ks und Ms: A_Versuchsbeginn, B_Versuchsanfang, J_Versuchsinitialisierung, K_Versuchsauslösung und M_Versuchsstart, als ein-und-denselben Versuch betreffend; und das Anzeigenpaar As und Bs A_sah_M_Versuchsstart und B_sah_M_Versuchsstart gilt als zueinander gleichzeitig.
Verallgemeinerung
War andernfalls für eine bestimmte Anzeige As (A_Versuchsbeginn) niemand als Mitte zwischen A und B zu finden, d.h. insbesondere falls für jemanden (M) mit geeigneten Hilfsbeteiligten J und K die genannten Bedingungen nur außer 7. erfüllt waren, und stattdessen (nur)
- 7(b) M nahm die drei Anzeigen B_sah_M_Versuchsstart, J_sah_M_Versuchsstart und K_sah_M_Versuchsstart zusammen wahr, aber As Anzeige A_sah_M_Versuchsstart erst danach,
dann heißt M in diesem Versuch (lediglich) festgelegt zwischen A und B, ohne dabei jedoch die Mitte zwischen A und B dargestellt zu haben.
Diese Messoperation kann aber iterativ fortgesetzt werden, indem man einen weiteren Beobachter (N) als festgelegt zwischen A und M (als auch A und B) identifiziert, einen weiteren Beobachter (P) als festgelegt zwischen M und N usw. Jeder dieser Beobachter (P) kann wiederum entscheiden, ob As Anzeige A_sah_P_Versuchsstart zuerst wahrgenommen wurde, oder Bs Anzeige B_sah_P_Versuchsstart (oder beide zusammen). Im Grenzübergang einer Folge solcher zwischen A und B festgelegter Beobachter mit alternierenden Befunden bzgl. der Reihenfolge, in der die entsprechenden Anzeigen As und Bs jeweils wahrgenommen wurden, ist somit schließlich ein bestimmter Beobachter (Q) als verallgemeinerte Mitte zwischen A und B identifiziert.
Der so verallgemeinerte Mitte-Begriff erlaubt die entsprechend verallgemeinte Quantifizierung geometrischer Beziehungen im Rahmen der Relativitätstheorie.