Moment (Statistik)

In der Statistik sind Momente Kenngrößen zur Beschreibung einer Verteilungsfunktion. Insbesondere ist das erste Moment der Erwartungswert. Das zweite zentrale Moment ist die Varianz, das dritte die Schiefe und das vierte die Wölbung oder Kurtosis. Schiefe und Wölbung werden oft als Maß der Abweichung von der Normalverteilung benutzt.

Eine Verteilungsfunktion ist andererseits durch Angabe aller ihrer Momente bestimmt, falls diese existieren. Eine Normalverteilung ist beispielsweise durch ihren Erwartungswert und ihr zweites Moment festgelegt, da alle höheren Momente verschwinden.

Es gibt demnach auch Verteilungen, deren Momente nicht existieren, wie z.B. die Levy-Verteilung.

Inhaltsverzeichnis
1 Definition
2 Zentrale Momente
3 Momente um Null
4 Absolute Momente
5 Besondere Momente

Definition

Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion FX, k eine natürliche Zahl und r eine reelle Zahl. Dann bezeichnet man als gewöhnliches Moment der Ordnung k bezüglich r (oder einfach als k-tes gewöhnliches Moment) den Erwartungswert der abgeleiteten Zufallsgröße:

\mathrm{ M_k(r)=E\left(\left(X - r\right)^k\right) }

d.h.

m_k(r) := \int_{-\infty}^{\infty} \left(x - r\right)^{k} F_X(x)\;\mathrm{d} x

Zentrale Momente

Speziell sind die zentralen Momente, die für r den Erwartungswert E(X) von X einsetzen. Das zentrale Moment erster Ordnung ist, wie man anhand der Definition leicht nachrechnen kann, gleich 0. Das zentrale Moment zweiter Ordnung entspricht der Varianz. Mit E(X) = μ wird das zentrale Moment

\mathrm{ m_k(\mu)=E\left(\left(X - \mu\right)^k\right) }

Momente um Null

Wird r=0 angenommen, so spricht man von Momenten um Null, oder bezeichnet

\mathrm{ m_k=m_k(0)=E \left((X-0)^k\right) = E \left(X^k\right) }

schlichtweg als das k-te Moment. Das k-te Moment kann mit der momenterzeugenden Funktion ermittelt werden.
Die beiden vorigen Definitionen schließen sich offensichtlich wechselseitig aus.

Absolute Momente

\mathrm{ M_k(r)=E\left(|(X - r)|^k\right) }

bezeichnet man als k-tes absolutes Moment von x in Bezug auf r.
Diese Definition schließt sich nicht mit den obigen beiden aus.

Besondere Momente

*m1(0) Erwartungswert
*m2(μ) Varianz
*m3(μ) Siehe: Schiefe
*m4(μ) Siehe: Wölbung

See also: Moment (Statistik), Erwartungswert, Levy-Verteilung, Momenterzeugende Funktion, Natürliche Zahl, Normalverteilung, Null, Reelle Zahl, Schiefe, Varianz