Momenterzeugende Funktion

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen X definiert als

M_X(t)=E\left(e^{itX}\right).

Mit der momenterzeugenden Funktion lassen sich die Momente einer Wahrscheinlichkeitsverteilung folgendermaßen bestimmen:

E\left(X^n\right)=i^{n} M_X^{(n)}(0)=i^{n} \left.\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0} M_X(t).

Besitzt X eine stetige Dichtefunktion f(x), ergibt sich ihre momenterzeugende Funktion als

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{itx} f(x)\,\mathrm{d}x
= \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ itx + \frac{-t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x
= 1 + itm_1 + \frac{-t^2m_2}{2!} +\cdots,

mit mi als i-tem Moment.

Im Allgemeinen, ob nun die Wahrscheinlichkeitsfunktion stetig ist oder nicht, ist die momenterzeugende Funktion gegeben durch das Riemann-Stieltjes-Integral

\int_{-\infty}^\infty e^{itx}\,dF(x),

wobei F die Verteilungsfunktion bezeichnet.

Zu weiteren erzeugenden Funktionen zählt man die charakteristische Funktion, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die kumulantenerzeugende Funktion als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion.

See also: Momenterzeugende Funktion, Charakteristische Funktion, Dichtefunktion, Moment (Statistik), Wahrscheinlichkeitstheorie, Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion, Kumulantenerzeugende Funktion