Monte-Carlo-Simulation

Eine Monte-Carlo-Simulation ist eine spezielle Art der Simulation, wobei das System einen wahrscheinlichkeits gewichteten Weg im Phasenraum abgeht. Der Name leitet sich vom monegasischen Stadtteil Monte Carlo ab, der durch seine Spielbank berühmt wurde.

Monte-Carlo-Simulationen sind besonders geeignet, um statistische Mittelwerte einer Größe $\mathcal{A}$ ,

$<\mathcal{A}> = \sum_{x \in \Omega} P(x) \mathcal{A}(x),$

oder hochdimensionale Integrale (Monte-Carlo-Integration) wie

$\int_{x \in \Omega} P(x) \mathcal{A}(x) d^n x$

zu berechnen. $P (x)$ soll in diesem Zusammenhang ein normiertes statistisches Gewicht (z.B. ein Boltzmanngewicht) sein. $\mathcal{A}(x)$ ist der Wert der Größe $\mathcal{A}$ im Zustand $x$ . Die Summation bzw. Integration verläuft hier über einen Raum $Ω$ , z.B. der Phasenraum der Teilchen im System.

Häufig ist der Raum $Ω$ so groß, dass die Summation nicht vollständig durchgeführt werden kann. Stattdessen erzeugen wir nun eine Markow-Kette $x_1,x_2,x_3,\ldots$ von Zuständen in $Ω$ , deren Häufigkeit wie das vorgegebene Gewicht $P (x)$ verteilt ist. Bereiche des Raums $Ω$ mit hohem Gewicht sollen also häufiger in der Markow-Kette vertreten sein als Bereiche mit niedrigem Gewicht. (Man spricht hier von Importance Sampling). Gelingt dies, so lassen sich die Erwartungswerte einfach als arithmetisches Mittel der Größe $\mathcal{A}$ zu diesen Zuständen der Markow-Kette berechnen, also als

$<\mathcal{A}>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \mathcal{A}(x_i).$

Dieser Zusammenhang basiert auf dem Gesetz der großen Zahlen. Je nach physikalischem System kann es schwierig sein, diese Markow-Kette zu erzeugen. Insbesondere muss man sicherstellen, dass die Markow-Kette tatsächlich den gesamten Raum $Ω$ bedeckt und nicht nur einen Teil des Raumes sampelt. Man sagt, der Algorithmus muss ergodisch sein.

Auch quantenmechanische Systeme lassen sich mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen untersuchen. Man spricht dann von Quanten-Monte-Carlo-Simulationen. Insbesondere quantenmechanische Gittermodelle (wie das Hubbard-Modell) lassen sich mit Hilfe von Quanten-Monte-Carlo-Algorithmen sehr effektiv untersuchen.

Metropolis Monte Carlo

Die von Metropolis et al. publizierte Methode zur Untersuchung statistisch-mechanischer Systeme mittels Computersimulation leitet sich von der Monte-Carlo-Integration ab.

Sequentielle Monte-Carlo-Methoden (SMC)

Sequentielle Monte Carlo (SMC) Methoden eignen sich zur Bayesschen Zustandsschätzung von dynamischen Systemen. Ziel der SMC-Methoden ist es, den Systemzustand als Funktion der Zeit auf Basis von einer Reihe Beobachtungen des Systems und a priori Kenntnissen der Systemdynamik zu schätzen. Dazu wird die komplizierte Wahrscheinlichkeitsdichte des Zustandes diskret durch eine Menge von Partikeln approximiert. Sequentielle Monte-Carlo Methoden werden auch Partikelfilter genannt.

Quellen

The Journal of Chemical Physics, Volume 21, Number 6, June 1953, p1087-1092: Equation of State Calculations by Fast Computing Machines, Metropolis et al.

Kategorie:statistische Physik Kategorie:Theoretische Physik Kategorie:Werkzeug der Chemie

Monte-Carlo-Simulation

Metropolis Monte Carlo

Sequentielle Monte-Carlo-Methoden (SMC)

Quellen

See also: Monte-Carlo-Simulation, Boltzmann-Statistik, Erwartungswert, Gesetz der großen Zahlen, Markow-Kette, Monaco, Monte Carlo, Phasenraum, Sequentielle Monte-Carlo-Methode, Simulation