Multiplikation

Die Multiplikation ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Die Multiplikation natürlicher Zahlen entsteht durch das wiederholte Addieren des gleichen Summanden:

\begin{matrix} \underbrace{b+b+\cdots+b}\\{a} \end{matrix} = \sum_{i=1}^{a}b = a \cdot b

a und b nennt man Faktoren oder Multiplikanden, das Ergebnis, gesprochen "a mal b", heißt Produkt.

Zum Beispiel schreibt man 3 · 4 für 4 + 4 + 4, und spricht diesen Term als "dreimal vier".

Anstelle von 3 · 4, wird manchmal auch 3 × 4 geschrieben. In Computerprogrammen verwendet man oft das Zeichen *, in anderen Texten sollte man es jedoch vermeiden. Bei der Multiplikation mit Variablen wird der Punkt oft weggelassen (5x, xy).

Bei der Multiplikation mehrerer oder vieler Zahlen kann man das Produkt-Symbol \prod (Pi Griechisches Alphabet)

verwenden:

3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 = \prod_{i=1}^5 (2i+1) = 10.395

oder auch

\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \; \dots \; \cdot \frac{n+2}{n} = \prod_{i=1}^n \frac{i+2}{i} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}

Die in der Stochastik häufig verwendetete Fakultät ist eine besondere Multiplikation natürlicher Zahlen:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = \prod_{i=1}^n i = n!

Die anschauliche Verallgemeinerung der Multiplikation und ihrer Rechenregeln auf die rationalen und reellen Zahlen erreicht man durch Betrachten eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b (in einer vorgegebenen Längeneinheit). Das Produkt a·b ist definiert als der Flächeninhalt dieses Rechtecks (in der entsprechenden Flächeneinheit).

Die Multiplikation rationaler Zahlen lässt sich auch formal mit Hilfe von Brüchen definieren. Ebenso kann man die Multiplikation während des Konstruktionsvorganges der reellen aus den rationalen Zahlen definieren.

Die umgekehrte Operation zum Multiplizieren ist das Dividieren, das auch als Multiplizieren mit den Kehrwert aufgefasst werden kann.

Inhaltsverzeichnis
1 Rechengesetze
2 Mehr oder weniger als zwei Faktoren
3 Multiplikation mit den Fingern
4 Kuriose Art der Multiplikation (russische Bauernmultiplikation)

4.1 Erklärung

5 Verallgemeinerungen
6 siehe auch

Rechengesetze

Mehr oder weniger als zwei Faktoren

Das Produkt von mehr als zwei Faktoren wird so definiert, dass man von links beginnend je zwei Faktoren multipliziert und so fortfährt, bis nur eine Zahl übrigbleibt. Das Assoziativgesetz besagt nun, dass die Reihenfolge eigentlich egal ist, man kann also auch von rechts beginnen, oder (aufgrund des Kommutativgesetzes) mit zwei beliebigen Faktoren anfangen.

Auch das Produkt von einem einzigen oder von gar keinen Faktoren ist definiert, obwohl man dazu nicht mehr multiplizieren muss: Das Produkt einer Zahl ist diese Zahl selbst, und das Produkt von null Faktoren ist 1 (allgemein das neutrale Element der Multiplikation).

Es ist auch möglich, ein unendliches Produkt zu bilden. Dabei spielt die Reihenfolge der Faktoren allerdings eine Rolle, man kann die Faktoren also nicht mehr beliebig vertauschen, und auch beliebige Zusammenfassungen zu Teilprodukten sind nicht immer möglich. (Ähnlich wie bei unendlichen Summen.)

Multiplikation mit den Fingern

Nicht nur das Addieren, sondern auch das Multiplizieren, lässt sich in begrenztem Umfang mit den Fingern bewerkstelligen. Hierzu müssen beide Faktoren in ein und derselben Dekadenhälfte liegen, also entweder beide auf Ziffern zwischen 1 bis 5 oder auf Ziffern zwischen 6 bis 0 enden.

Im ersten Fall nummeriert man die Finger beginnend beim kleinen Finger mit (d-1)1 bis (d-1)5 für den Daumen durch, wobei d für die Dekade der entsprechenden Zahl steht (also bspw. 11 bis 15 für die 2. Dekade). Danach hält man die zwei Finger, deren Produkt man ausrechnen will, aneinander. Das entsprechende Produkt erhält man, indem man die unteren Fingern zählt und mit (d-1)*10 multipliziert, dazu das Produkt der Finger der linken Hand mit den Fingern der rechten Hand und schließlich eine additive Konstante (d-1)^2*100 hinzuaddiert.

Im zweiten Fall nummiert man die Finger von (d-1)6 bis d0 durch (also bspw. 16 bis 20). Danach hält man analog zum ersten Fall die beiden Finger der gewünschten Faktoren aneinander, zählt die unteren Finger, aber multipliziert diese jetzt mit d*10 und zählt zu diesem das Produkt der oberen Finger hinzu und die additive Konstante ergibt sich als (d-1)*d*100.

Besonders geeignet ist dieses Verfahren für das schnelle Errechnen von Quadratzahlen ohne Taschenrechner. Für Faktoren verschiedener Dekaden und Dekadenhälften kann man dieses Verfahren immer noch anwenden, indem man die Faktoren in Summen aufspaltet.

Hintergrund für dieses Verfahren ist die Tatsache, dass man solche Produkte schreiben kann als:
(a+x)*(a+y)=a^2+(x+x)*a+x*y
und Produkte der zweiten Dekadenhälfte errechnen kann, indem man die Komplemente der letzten Ziffer bzgl. 10 bildet. Die letzte Ziffer ist dann das Produkt der Komplemente, die Zehner das Komplement der Summe der Komplemente.

Komplemente: 1 (=10-9), 3 (=10-7)
Zehner: 6 (=10-(1+3))
Einer: 3 (=1*3)
Produkt: 63

Kuriose Art der Multiplikation (russische Bauernmultiplikation)

A und B seien ganzzahlige Faktoren. Das Produkt P = A · B kann auch auf folgende – scheinbar kuriose – Art ermittelt werden:

  1. Schritt: Dividiere A und die Ergebnisse so lange durch 2, bis sich 1 als Ergebnis einstellt. Dabei wird ein nicht ganzzahliges Ergebnis auf die nächste ganze Zahl abgerundet und danach die Division durch 2 fortgesetzt.
  2. Schritt: Verdopple B fortlaufend
  3. Schritt: Streiche alle Zeilen, in welchen in der Spalte A eine gerade Zahl steht.
  4. Schritt: Addiere alle nicht gestrichenen Zahlen der Spalte B. Die erhaltene Summe ist das gesuchte Produkt B.

Beispiel: 11 · 3 = ? 

Spalte A    Spalte B
    11     ·     3
     5           6         
     2          12         gestrichen wegen (2 = gerade) in Spalte A
     1          24
 _______________________
        Summe   33
 =======================

Das scheinbar Kuriose an dieser Methode ist, dass die Rechnung immer stimmt, obwohl in der Spalte A im allgemeinen Rundungen vorgenommen werden.

Erklärung

In der Spalte A werden Streichungen vorgenommen, wo bei der dezimalen Zahl 11 in der binären Darstellung Nullen stehen: 11(dezimal) = 1011(binär). Dabei ist die Spalte A von unten nach oben zu lesen. Diese Methode ist auch die einfachste Art, dezimale Zahlen in binäre zu transformieren. Die fortlaufenden Verdoppelungen in der Spalte B entsprechen den Zweierpotenzen des binären Zahlensystems, multipliziert mit dem zweiten Faktor. Wo in Spalte A eine Null steht, wird die entsprechende Zahl in B mit 0 multipliziert, daher gestrichen. Alle übrigen Zahlen der Spalte B gehören zum Produkt und werden summiert.

Verallgemeinerungen

Die bekannte Multiplikation reeller Zahlen kann zur Multiplikation komplexer Zahlen verallgemeinert werden, indem man eine imaginäre Einheit i einführt und die Faktoren in der Form a+bi formal ausmultipliziert.

Durch Forderung einiger der oben angegebenen Rechengesetze gelangt man zu algebraischen Strukturen mit zwei Verknüpfungen, einer Addition und einer Multiplikation. In einem Ring gibt es eine Addition, mit der die Menge eine Abelsche Gruppe bildet, und eine Multiplikation, die assoziativ und distributiv ist. Hat die Multiplikation ein neutrales Element, nennt man den Ring unitär. Ist zusätzlich die Division immer möglich, erhält man einen Schiefkörper. Ist zusätzlich die Multiplikation kommutativ, erhält man einen Körper.

Auch in manchen Vektorräumen gibt es Produkte: das Skalarprodukt in euklidischen Vektorräumen und das Kreuzprodukt im R3.

Wiederholtes Multiplizieren mit dem gleichen Faktor führt zum Potenzieren, z.B. ist

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26 = 64

siehe auch

Linearfaktor, Primfaktorzerlegung, Russische Bauernmultiplikation, Multiplikator

See also: Multiplikation, Abelsche Gruppe, Addieren, Arithmetik, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Dividieren, Fakultät, Griechisches Alphabet, Grundrechenarten