Bruchrechnung

Die Bruchrechnung befasst sich mit der Division von ganzen Zahlen. Ein Bruch (manchmal auch gewöhnlicher Bruch, engl. vulgar fraction, oder verallgemeinert auf die ganzen Zahlen eine Bruchzahl) ist dabei die Darstellung einer rationalen Zahl als Quotient (d.h. als Ergebnis einer Division), er drückt also ein Verhältnis oder einen Anteil aus.

Brüche werden im Allgemeinen durch einer Übereinanderstellung von Zähler und Nenner durch einen waagerechten Strich dargestellt:

$\frac{Z}{N}$

der Zähler Z ist dabei der Dividend der Division, der Nenner N ist der Divisor. Jede Division lässt sich als Bruch schreiben.

Zähler und Nenner einer konkreten Bruchzahl sind ganze Zahlen, für Brüche im Allgemeinen können sie aber auch algebraische Ausdrücke sein. Dabei darf der Nenner niemals Null sein, da eine Division durch Null unzulässig (bzw. ihr Ergebnis undefiniert) ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele

2 Rechenregeln

2.1 Addition
2.2 Subtraktion
2.3 Multiplikation
2.4 Division
2.5 Kürzen

Beispiele

Beispiel:

$\frac{2}{3}$

der Bruch mit der 2 im Zähler und der 3 im Nenner bedeutet "zwei Drittel", also zwei Teile eines in drei gleichgroße Teile geteilten Ganzen.

$\frac{3}{4}$

bedeutet entsprechend "drei Viertel".

Es ist hierbei implizit verstanden, dass "ein Ganzes" aus "drei (gleich-großen) Dritteln", "vier (gleich-großen) Vierteln" usw. besteht. Somit wird klar, dass man einen Bruch auch als eine rationale Zahl auffassen kann, die man bei der Division des Zählers durch den Nenner erhält.

$\frac{3}{4} \; = \; 3 : 4 \; = \; 3 / 4 \; = \; 0,75$

Brüche können gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner mindestens einen gemeinsamen ganzzahligen Faktor haben. Dabei ist es hilfreich, wenn man den Zähler und den Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.

$\frac{6}{8} \; = \; \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2} \; = \; \frac{3}{2 \cdot 2} \; = \; \frac{3}{4}$

Auch algebraische Ausdrücke, die Variablen enthalten, kann man als Bruch schreiben:

$\frac{2x}{5}$

bedeutet "zwei Fünftel x" oder "zwei x geteilt durch Fünf".

Rechenregeln

Addition

$\frac{a}{b} \; + \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

Subtraktion

$\frac{a}{b} \; - \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$

Multiplikation

$\frac{a}{b} \; \cdot \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Division

$\frac{a}{b} \; : \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a}{b} \; \cdot \; \frac{d}{c} \; = \; \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. Die Division wird also auf die Multiplikation zurückgeführt.

Kürzen

$\frac{a \cdot c}{b \cdot c} \; = \; \frac{a}{b}$