Liste numerischer Verfahren
Die Liste numerischer Verfahren führt Verfahren der numerischen Mathematik nach Anwendungsgebieten auf.
| Inhaltsverzeichnis |
Lineare Gleichungssysteme
- Gaußsches Eliminationsverfahren (vgl. auch LR-Zerlegung): Ein klassisches direktes Verfahren, allerdings mit hohem Speicheraufwand, Laufzeit sowie schlechten Stabilitätseigenschaften.
- QR-Zerlegung: Ebenfalls ein direktes Verfahren mit demselben Speicheraufwand, doppelter Laufzeit, aber besseren Stabilitätseigenschaften im Vergleich zum Gauß-Verfahren.
- Splitting-Verfahren: Klassische iterative Verfahren.
- Gauß-Seidel-Verfahren: Wird auch als Einzelschrittverfahren bezeichnet.
- Jacobi-Verfahren: Wird auch als Gesamtschrittverfahren bezeichnet.
- Richardson-Verfahren
- SOR-Verfahren
- SSOR-Verfahren
- Krylow-Unterraum-Verfahren: Moderne iterative Verfahren, die für große, dünnbesetzte Gleichungssysteme gedacht sind.
- Mehrgitterverfahren: Ein modernes Verfahren mit linearer Komplexität speziell für Gleichungssysteme, die von partiellen Differentialgleichungen herrühren.
- Vorkonditionierung: Eine Technik, die Kondition einer Matrix zu verbessern.
- ILU-Zerlegung: Ein wichtiges Vorkonditionierungsverfahren.
Nichtlineare Gleichungssysteme
- Newton-Verfahren: Ein quadratisch konvergentes Verfahren zum Auffinden von Nullstellen differenzierbarer Funktionen, auch im mehrdimensionalen. In jedem Schritt ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems notwendig.
- Fixpunktverfahren: Ein linear konvergentes Verfahren zum Auffinden von Fixpunkten von Funktionen, auch im mehrdimensionalen.
- Homotopieverfahren: Ein topologisch inspiriertes Verfahren.
- Verfahren des steilsten Abstiegs: Ein langsames Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme mit positiv definiter Hesse-Matrix.
- Regula Falsi: Ein einfaches iteratives Verfahren zur Nullstellenbestimmung eindimensionaler Funktionen.
Polynome
- Bairstow-Verfahren: Spezielles Iterationsverfahren für Polynome, um komplexe Nullstellen mit reellen Operationen zu bestimmen
- Lösungsverfahren für quadratiache, kubische und biquadratische Gleichungen
Numerische Integration
- Newton-Cotes-Formeln: Einfache Quadraturformeln, die auf Polynominterpolation basieren.
- Gauß-Quadratur: Quadraturformeln mit optimaler Konvergenzordnung.
- Romberg-Extrapolation: Eine Technik zur Verbesserung von Newton-Cotes-Formeln.
- Mittelpunktsregel
- Trapezregel
- Simpsonregel
Approximation und Interpolation
- Polynominterpolation: Interpolation durch Polynome.
- Spline-Interpolation: Interpolation durch stückweise stetige Polynome.
- Remez-Algorithmus: Findet die optimale Approximation bezüglich der Supremumsnorm.
- De Casteljau-Algorithmus: Der Algorithmus zur Berechnung von Bézier-Kurven.
Ausgleichsprobleme
- QR-Zerlegung: Geeignet für lineare Ausgleichsprobleme (auch Householder-Verfahren).
- Gauß-Newton-Verfahren: Ein iteratives Verfahren zur Lösung nichtlinearer Ausgleichsprobleme.
Optimierung
- Simplex-Verfahren: Ein direktes Verfahren der linearen Programmierung.
- Innere-Punkte-Verfahren: Ein iteratives Verfahren auch für nichtlineare Optimierungsprobleme.
- Logarithmisches Barriereverfahren: Ebenfalls ein iteratives Verfahren.
Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen
- Eulersches Polygonzugverfahren: Das einfachste Lösungsverfahren, ein 1-stufiges Einschrittverfahren.
- Einschrittverfahren: Verfahren, die nur Informationen des aktuellen Zeitschrittes benutzen, um daraus die nächste Näherung zu berechnen.
- Mehrschrittverfahren: Verfahren, die Informationen der letzten Zeitschritte nutzen.
- Runge-Kutta-Verfahren: Familie von Einschrittverfahren inkl. dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren.
Numerik partieller Differentialgleichungen
- Finite-Elemente-Methode: Ein modernes, flexibles Verfahren zur Lösung vor allem elliptischer partieller Differentialgleichungen.
- Finite-Volumen-Verfahren: Ein modernes Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen.
- Finite-Differenzen-Verfahren: Ein klassisches Verfahren für beliebige partielle Differentialgleichungen.
- Randelementmethode: Ein Verfahren zur Lösung elliptischer PDGLen, wobei lediglich der Gebietsrand und nicht das Gebiet selbst (wie z.B. bei der FEM) zu diskretisieren ist.
- Spektralmethode: Ein neuartiges Verfahren, das zur Diskretisierung Polynome sehr hoher Ordnung benutzt.
- Level-Set-Methode: Eine moderne Methode zur Verfolgung von bewegten Rändern.
- Leapfrog-Verfahren: Abgewandeltes Eulerverfahren mit Termen nur zweiter Ordnung (z.B. für Planetenbewegung), bei dem die Zeitschritte für Ort und Geschwindigkeit um die halbe Integrationschrittweite versetzt sind. Dadurch wird höhere Genauigkeit und Zeitsymmetrie erreicht.
Berechnung von Eigenwerten
- Potenziteration: Diese erlaubt die Berechnung des größten Eigenwertes.
- QR-Verfahren: Berechnung aller Eigenwerte, allerdings mit hohen Kosten verbunden.
- Lanczos-Verfahren: Berechnung aller Eigenwerte von großen dünnbesetzten Matrizen.
Sonstiges
- Schnelle Fourier-Transformation
- Wavelet-Transformation
- Multipol-Verfahren
- Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren
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