NURBS

NURBS steht für Non Uniform Rational B-Splines und ist eine Methode aus dem CAD-Bereich zur Erstellung von Flächen und Körpern auf Basis mathematisch definierter Kurven.

Inhaltsverzeichnis

1 mathematische Beschreibung

1.1 NURBS-Kurven
1.2 NURBS-Flächen

2 Literatur

mathematische Beschreibung

NURBS-Kurven

Eine NURBS-Kurve $C (u)$ ist definiert durch

$C(u)=\sum_{i=0}^{n}R_{i,p}(u)P_{i}$

mit den Kontrollpunkten $P i$ und der rationalen Basisfunktion

$R_{i,p}(u)=\frac{N_{i,p}(u)w_{i}}{\sum_{j=0}^{n}N_{j,p}(u)w_{j}}$ .

Diese setzt sich zusammen aus B-Spline-Basisfunktionen $N i, p$ $p$ -ter Ordnung und Gewichten $w i$ . Der Parameter $u\in[a,b]$ schaltet im Bereich des Knotenvektors

$U=\{\underbrace{a,\ldots,a}_{p+1},u_{p+1},\ldots,u_{r-p-1},\underbrace{b,\ldots,b}_{p+1}\}$

der Länge $r$ die einzelnen Segmente der Spline-Kurve aktiv. Die Elemente des Knotenvektors sind monoton steigend.

NURBS-Flächen

$S(u,v)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^mR_{i,j}(u,v)P_{i,j}$

sind definiert durch ein Kontrollgitter $P i, j$ und die rationale Basisfunktion

$R_{i,j}(u,v)=\frac{N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)w_{i,j}}{\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^mN_{k,p}(u)N_{l,q}(v)w_{k,l}}$

mit einem zweidimensionalen Gewichtsfeld $w i, j$ . Die zweite Dimension der Fläche $S (u, v)$ mit dem Parameter $v$ wird geschaltet durch den analog zu $U$ aufgebauten Knotenvektor

$V=\{\underbrace{c,\ldots,c}_{q+1},v_{q+1},\ldots,v_{s-q-1},\underbrace{d,\ldots,d}_{q+1}\}$

mit der Ordnung $q$ und der Länge $s$ .

Literatur

Les Piegl, Wayne Tiller: The NURBS Book. Monographs in Visual Communication. Springer Verlag, 2000
David F. Rogers: An Introduction to NURBS With Historical Perspective. Academic Press, 2001

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Literatur

See also: NURBS, B-Spline, Computer Aided Design