Oktalsystem

Das Oktalsystem (von lateinisch octo acht) ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 8 (ein so genanntes 8er-System). Das Oktalsystem kennt zur Darstellung einer Zahl acht verschiedene Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7.

oktal 01234567 101112
dezimal 012345678910
binär 00000001001000110100010101100111100010011010
hexadezimal 0123456789A


Inhaltsverzeichnis
1 Zählen im Oktalsystem
2 Anwendung und Kennzeichnung
3 Umwandlung von Dezimalzahlen in Oktalzahlen
4 Umwandlung von Oktalzahlen in Dezimalzahlen
5 Mathematische Darstellung des Oktalsystems
6 Weblinks

Zählen im Oktalsystem

Beim Zählen im Oktalsystem ist zu beachten, das nach 7 nicht die 8 folgt, sondern eine Stelle weiter links erhöht werden muß. Im Oktalsystem gilt: 7 + 1 = 10. Die Anwendung dieser Regel wird im folgenden verdeutlicht:

0 1 2 3 4 5 6 7
10 11 12 13 14 15 16 17
20 21 22 23 24 25 26 27
........................
70 71 72 73 74 75 76 77
100 ..................177
200 ..................777
1000 ..................7777

Anwendung und Kennzeichnung

In der Computertechnik wurden die Oktalzahlen benutzt, weil die Umwandlung vom und ins Binärsystem einfach ist. Jede Ziffer einer Oktalzahl kann durch drei Bit dargestellt werden und umgekehrt.

Oktalzahlen werden häufig durch ein nachgestelltes "o" gekennzeichnet. In der Programmiersprache C wird eine "0" vorangestellt, um eine Oktalzahl von einer Dezimalzahl zu unterscheiden. In TeX wird eine Oktalzahl durch ein vorangestelltes Hochkomma gekennzeichnet.

172(8) = 0172 = '172 = 172o

In der Mathematik wird oft auch die Basis des Zahlensystems an die Zahl angefügt:
z.B. 172(8) = 122(10)

Umwandlung von Dezimalzahlen in Oktalzahlen

Eine Dezimalzahl kann in eine Oktalzahl umgewandelt werden, indem sie wiederholt durch die Basis 8 geteilt wird und die dabei entstehenden Divisionsreste notiert werden. Zum Beispiel werden für die Dezimalzahl 122(10) drei Rechenschritte benötigt: 

122 : 8 = 15 Rest 2
  15 : 8 =  1 Rest 7
   1 : 8 =  0 Rest 1

Die Divisionsreste von unten nach oben gelesen ergeben die Oktalzahl 172(8).

Umwandlung von Oktalzahlen in Dezimalzahlen

Um eine Oktalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer, wobei der Zahl vor dem Komma eine Null zugeordnet wird.

Beispiel für 172(8):

1 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8^1 + 2 \cdot 8^0 = 122_{(10)}

Mathematische Darstellung des Oktalsystems

Die mathematische Darstellung zeigt die Wertigkeit der einzelnen Ziffern im Oktalsystem. Als Trennzeichen zwischen dem ganzzahligen und dem gebrochenen Anteil der Zahl dient das Komma:

o_m o_{m-1} \cdots o_0 ,o_{-1} o_{-2} \cdots o_{-n} = \sum_{i=-n}^m o_i \cdot 8^i \quad m,n\in\mathbb{N}\quad o_i\in\{0;1; \cdots ;7\}

Weblinks


Kategorie:Zahlensystem

See also: Oktalsystem, Acht, Computer, Dezimalsystem, Dezimalzahl, Divisionsrest, Dualsystem, Hexadezimalsystem, Mathematik, Stellenwertsystem