Optischer Doppler-Effekt

Beim optischen Doppler-Effekt handelt es sich um die Frequenzverschiebung von elektromagnetischer Strahlung, die durch die Relativgeschwindigkeit zwischen Lichtquelle Q und Empfänger E bewirkt wird.

Bei sich verringerndem Abstand erhöht sich die Frequenz der Strahlung, und man spricht von Blauverschiebung. Bei sich vergrößerndem Abstand verringert sich die Frequenz der Strahlung, und man spricht von Rotverschiebung. Letztere hat in der Astronomie eine große Bedeutung erlangt.

Im Folgenden wird gezeigt, wie sich der optische Doppler-Effekt mit Hilfe des Minkowski-Raumes (siehe Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum) veranschaulichen lässt und wie sich die einschlägigen Gesetze herleiten lassen.

Wir betrachten zwei relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegte Bezugssysteme S (schwarz) und S' (rot) im Minkowski-Raum. Irgendeines der beiden Systeme (hier S) stellen wir rechtwinklig dar. Wie üblich ist w = c t.

Bild:optdo01.png

Ein kontinuierlicher monochromatischer Lichtstrahl bewege sich längs der X-Achse nach rechts. Aus dem Lichtstrahl greife ich einen Wellenzug von gerade einer Wellenlänge λ heraus. Das Ende dieses Wellenzuges befinde sich zur Zeit t = 0 gerade in O.

Im Minkowski-Raum bewegt sich der Wellenzug auf der Winkelhalbierenden der Achsen der Bezugssysteme, also unter dem Winkel 45° nach rechts oben. Die Punkte am Anfang, in der Mitte und am Ende des Wellenzuges sind durch hellblaue Punkte dargestellt. Ihre Weltlinien sind hellblaue Linien; die Weltlinien der übrigen Punkte des Wellenzuges bilden einen hellblauen Doppelstreifen.

Im System S (schwarz) stellt sich die Wellenlänge λ als die Strecke OA dar, im System S' (rot) als die Strecke OB. Es ist also x(A) = λ und x'(B) = λ'. Offensichtlich ist λ' > λ. Die Koordinaten des Punktes B im System S sind (λ + c Δt; c Δt). Daraus kann x'(B) = λ' berechnet werden: Aus der Gleichung

$x' = \frac {x - v t} {\sqrt{1 - \beta^2}}$

der Lorentz-Transformationen ergibt sich mit x' = x'(B) = λ', x = λ + c Δt und t = Δt:

$\lambda' = \frac {\lambda + c \Delta t - v \Delta t} {\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac {\lambda + (c - v) \Delta t} {\sqrt{1 - \beta^2}}$

Gemäß Abbildung ist

$\frac {c \Delta t} {\lambda + c \Delta t} = \tan \alpha = \frac {v} {c} =: \beta$

und folglich

$c \Delta t = \frac {v} {c} (\lambda + c \Delta t)$

$(c - v) \Delta t = \frac {v} {c} \lambda = \beta \lambda$

Oben eingesetzt ergibt:

$\lambda' = \lambda \frac {1 + \beta} {\sqrt{1 - \beta^2}} = \lambda \sqrt { \frac { (1 + \beta)^2 } { (1 + \beta)(1 - \beta)} } = \lambda \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }$

Mit λ' = c/f' und λ = c/f ergibt sich:

$\frac {c} {f'} = \frac {c} {f} \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }$

und schließlich

$f = f' \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }$

Bewegt sich das System S' gegenüber dem System S nach links, dann ist v durch (-v) bzw. β durch (-β) zu ersetzen. Damit ist die grundlegende Formel für den optischen Doppler-Effekt hergeleitet, und zwar unabhängig davon, in welchen Systemen sich die Lichtquelle Q bzw. der Empfänger E befinden. Darüber kann beliebig verfügt werden, woraus sich dann die verschiedenen Fälle ergeben.

Inhaltsverzeichnis

1 1. Fall: Lichtquelle Q in S'

2 2. Fall: Lichtquelle Q in S

3 3. Fall: Lichtquelle Q bewegt sich quer zum Empfänger E

4 4. Fall: Lichtquelle Q bewegt sich im Winkel α zum Empfänger E

5 Weblinks

1. Fall: Lichtquelle Q in S'

E befindet sich dann in S (allgemein: immer im jeweils anderen System). Da der betrachtete Wellenzug von links kommt, liegt auch Q links und bewegt sich auf E zu. Die Frequenz f' ist dann identisch mit der Quellenfrequenz f_Q, die Frequenz f identisch mit der vom Empfänger wahrgenommenen Frequenz f_E. Also gilt für den Fall, dass sich Q auf E (oder E auf Q) zu bewegt:

$f_E = f_Q \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }$

2. Fall: Lichtquelle Q in S

In diesem Fall bewegt sich E von Q (oder Q von E) weg. Die Quellenfrequenz f_Q ist dann identisch mit f, und die empfangene Frequenz f_E ist identisch mit f'. Also ist:

$f_Q = f_E \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }$

und

$f_E = f_Q \sqrt { \frac {1 - \beta} {1 + \beta} }$

Dieses Ergebnis erweist sich als gleichwertig mit der Formel für den 1. Fall, wenn man bedenkt, dass sich S gegenüber S' nach links bewegt und daher v durch (-v) bzw. β durch (-β) ersetzt werden muss.

thumb|Relativistischer Dopplereffekt und Geschwindigkeit

3. Fall: Lichtquelle Q bewegt sich quer zum Empfänger E

Transversaler Dopplereffekt, oder Dopplereffekt zweiter Ordnung.

$f_E = f_Q \sqrt { 1 - \beta^2 }$

Das bedeutet, daß sich hier nur die Zeitdilatation auf die empfangene Frequenz auswirkt.

thumb|Relativistischer Dopplereffekt und Richtung

4. Fall: Lichtquelle Q bewegt sich im Winkel α zum Empfänger E

Wenn man für den Winkel α entweder 0°, 90°, oder 180° einsetzt, dann erhält man die oben stehenden Gleichungen. α ist hier der Winkel, unter dem der Beobachter den Lichtstrahl sieht; dieser Winkel ist aufgrund der Aberration nicht der selbe wie der tatsächliche Winkel zwischen Bewegungsrichtung und Verbindungslinie Lichtquelle - Empfänger.

$f_E = f_Q \frac { \sqrt { 1 - \beta^2 } } { 1 - \beta \cos \alpha }$

Weblinks

20px Wikibooks: Spezielle Relativitätstheorie