Orthogonale Matrix

Eine quadratische, reelle Matrix A heißt orthogonal, wenn sie regulär ist und ihre inverse Matrix A ^{− 1} mit ihrer transponierten Matrix A^T übereinstimmt, also gilt: A ^{− 1} = A^T. Bei komplexen Matrizen gibt es einen entsprechenden Begriff: die unitäre Matrix.

Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. Die Spaltenvektoren s_i von A bilden ein Orthonormalsystem.
2. Die Zeilenvektoren s_i von A bilden ein Orthonormalsystem.
3. A ist orthogonal.

Alle orthogonalen Matrizen einer gegebenen Dimension n bilden die orthogonale Gruppe O(n).

In der analytischen Geometrie werden orthogonale Matrizen zur Beschreibung von Kongruenzabbildungen (Bewegungen) verwendet. Sie stellen also Drehungen und Spiegelungen dar. Konsequenterweise bleibt die euklidische Norm eines Vektors unter Abbildung mit einer orthogonalen Matrix erhalten.

See also: Orthogonale Matrix, Analytische Geometrie, Euklidische Norm, Inverse Matrix, Kongruenzabbildung, Matrix (Mathematik), Orthogonale Gruppe, Orthonormalsystem, Reguläre Matrix, Transponierte Matrix