Partielle Differentialgleichung
Eine Partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDGL oder PDE für eng. partial differential equation) ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält.
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Definition
Etwas genauer gesagt ist eine PDE eine Gleichung (oder ein Gleichungssystem) für eine oder mehrere unbekannte Funktionen, die folgende Kriterien erfüllt:
- die unbekannte Funktion hängt von mindestens 2 Variablen ab (wenn sie nur von einer Variable abhängt, bezeichnet man sie als gewöhnliche Differentialgleichung, oder kurz nur Differentialgleichung)
- in der PDE kommen partielle Ableitungen nach mindestens 2 Variablen vor
- in der Gleichung kommen nur die Funktion, sowie deren partielle Ableitungen, jeweils am gleichen Punkt ausgewertet vor.
Die implizite Form einer partiellen Differentialgleichung für eine Funktion u, die von zwei Variablen x und y abhängt, lautet
wobei F eine beliebige Funktion ist.
Beispiel
Viele physikalische Prozesse hängen sowohl vom Ort als auch von der Zeit ab. Die Veränderung bezüglich jener ist jedoch nicht immer wichtig: die Bewegung eines Massenpunktes wird nur durch Ableitungen nach der Zeit (Geschwindigkeit und Beschleunigung) beschrieben. So eine Art von Gleichung nennt man gewöhnliche Differentialgleichung. Meistens reicht das jedoch nicht aus: Die Wellen, die durch einen Wassertropfen der auf eine Wasseroberfläche fällt entstehen, hängen sowohl von der Zeitableitung (Geschwindigkeit der Welle) also auch von der Raumableitung (Profil der Welle) ab. Da Ableitungen nach mehreren Variablen auftauchen, ist also eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung des Vorgangs notwendig.
Das einfachste mögliche Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ist folgendes: Eine Funktion u(x,t) möge von 2 Variablen abhängen (z. B. von Ort x und Zeit t). Die partielle Ableitung 
gibt an, wie stark sich die Funktion in der Zeit ändert, analog gibt 
die Änderung der Funktionswerte in der Ortsvariablen an. Falls diese beiden Änderungen gleich sind, ergibt sich folgende Differentialgleichung
Eine Lösung dieser Gleichung wäre u(x,t) = f(x + t) mit einer beliebigen Funktion f.
Einteilung
Man kann PDGen nach verschiedenen Kriterien einteilen. Den Grad der höchsten Ableitung, der in der Gleichung vorkommt, nennt man die Ordnung. Beispielsweise treten in einer Gleichung erster Ordnung nur partielle erste Ableitungen auf.
Weiter kann nach Linearität eingeteilt werden. Falls die unbekannte Funktion, sowie alle auftretenden Ableitungen linear vorkommen, spricht man von einer linearen partiellen Differentialgleichung. Treten alle Ableitungen linear auf, aber die Funktion selbst nicht, spricht man von einer semilinearen Gleichung. Ansonsten spricht man von einer nichtlinearen PDE. Eine nichtlineare partielle Differentialgleichung kann man durch ausdifferenzieren immer in eine quasilineare Form überführen, in der die höchsten Ableitungen linear auftauchen.
Der einfachste Fall ist natürlich der Fall der linearen Gleichungen. Aber im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen sind selbst hier formelmäßige Lösungen nur in Ausnahmefällen möglich.
Man unterscheidet weiter zwischen hyperbolischen (z.B. die Wellengleichung), parabolischen (z.B. die Wärmeleitungsgleichung) und elliptischen (z.B. die Poisson-Gleichung) Differentialgleichungen. Anschaulich betrachtet unterscheiden sich die Typen durch die Art der Ausbreitung von Störungen in der Lösung. Diese Klassifizierung ist allerdings nicht mehr eindeutig, es gibt also partielle Differentialgleichungen, die einen gemischten Charakter haben.
Als Beispiel für die Einteilung in elliptisch, parabolisch und hyperbolisch sei eine partielle Differentialgleichung der Ordnung 2 in 2 Variablen herangezogen:
Bei der Einteilung werden immer nur die Koeffizienten der höchsten Ableitungen (hier 2. Ordnung) in der Gleichung betrachtet:
- Wenn a(x,y)c(x,y) − b(x,y)2 / 4 > 0 ist die Gleichung in (x,y) elliptisch
- Wenn a(x,y)c(x,y) − b(x,y)2 / 4 = 0 ist die Gleichung in (x,y) parabolisch
- Wenn a(x,y)c(x,y) − b(x,y)2 / 4 < 0 ist die Gleichung in (x,y) hyperbolisch
Diese Unterscheidung kann man auch darauf zurückführen, ob die Matrix (a(x,y) b(x,y)/2; b(x,y)/2 c(x,y) ) positiv definit (⇒elliptisch), singulär (⇒parabolisch), oder negativ definit (⇒hyperbolisch) ist.
Rand und Anfangswertprobleme
Eine partielle Differentialgleichung per se hat im Allgemeinen mehrere Lösungen. Um eine eindeutige Lösung zu bekommen braucht es gewisse Zusatzbedingungen, nämlich Rand- und/oder Anfangsbedingungen. Diese Situation ist ähnlich wie bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen, wo man Anfangsbedingungen in einem Punkt braucht. Bei PDGen reicht die Vorgabe eines Funktionswertes an einem Punkt nicht aus, man muss Funktionswerte (und/oder Ableitungen) auf einer Mannigfaltigkeit vorgeben.
Nicht jede Zusatzbedingung führt zu einer vernünftigen Lösung, das Ganze hängt von der Art der Gleichung ab. Typische Beispiele sind
- Dirichlet-Randbedingungen (für elliptische Probleme)
- Neumann-Randbedingungen (für elliptische Probleme)
- Anfangs- und Randbedingungen (bei parabolischen Probleme)
- Cauchy Probleme (bei hyperbolischen Problemen)
Elliptische partielle Differentialgleichungen
Diese treten typischerweise in Zusammenhang mit zeitunabhängigen (stationären) Problemen auf. Ein weiteres Kennzeichen ist, dass elliptische Gleichungen oftmals einen Zustand minimaler Energie beschreiben, also von Variationsproblemen her kommen. Das Paradebeispiel ist die Laplace-Gleichung, bzw die Poisson-Gleichung. Diese Gleichungen beschreiben etwa die (stationäre) Temperaturverteilung in einem Körper, oder auch die elektrostatische Ladungsverteilung in einem Körper. Außerdem ist das (Newtonsche) Gravitationspotential eine Lösung der Poisson-Gleichung.
Bei elliptischen Gleichungen sind die am häufigsten auftretenden Randbedingungen entweder Dirichlet-Randbedingungen oder Neumann-Randbedingungen. Die erstere bedeutet, dass die Werte der gesuchten Funktion auf dem Rand vorgegeben sind, während die zweite eine Vorgabe der Normalenableitung der gesuchten Funktion ist. Am Beispiel der Temperaturverteilung soll der Unterschied klargemacht werden: Steckt man ein Objekt in Eiswasser, dann ist die Temperatur am Rand 0 Grad. Damit ist die Temperaturverteilung im Inneren die Lösung eines Dirichlet-Randwertproblems. Ein anderer Fall tritt auf, wenn man den Körper isoliert. Hier ist zwar nicht die Temperatur bekannt, aber durch Isolation ist der Wärmefluß am Rand 0. Da der Fluß mit der Normalableitung in Verbindung gebracht werden kann, führt dies auf ein Neumann-Problem. Ähnliches gilt in der Elektrostatik: Kennt man die Spannung die am Rand angelegt wird, kommt man zu einem Dirichlet-Problem, kennt man hingegen die Stromstärke am Rand kommt man zu einem Neumann-Problem.
Eine nichtlineare Gleichung, die elliptisch ist, ist die Gleichung für Minimalflächen (Minimal surface equation), diese beschreibt eine Seifenhaut, die sich bildet, wenn man ein Drahtgestell in Seifenlauge taucht.
Parabolische partielle Differentialgleichungen
Dieser Typ von Gleichungen beschreibt ähnliche Phänomene wie elliptische Gleichungen, aber im instationären Fall. Das bei weitem wichtigste Beispiel einer parabolischen Gleichung ist die Wärmeleitungsgleichung, die das Abkühlen und Aufheizen eines Körpers beschreibt. Diffusionsprozesse werden ebenfalls durch diese Gleichung beschreiben. Parabolische Gleichungen führen auf ein Anfangs-Randwertproblem. Beispielsweise müssen bei der Wärmeleitungsgleichung am (räumlichen) Rand des Gebietes für alle Zeiten entweder die Temperatur oder der Temperaturfluß vorgegeben werden. Dies entspricht dem Fall von Dirichlet- oder Neumannbedingungen im elliptischen Fall. Zusätzlich muss noch die Temperaturverteilung am Anfang (zum Zeitpunkt 0) vorgegeben werden. Insgesamt benötigen also parabolische Gleichungen Bedingung am räumlichen Rand und zum Anfangszeitpunkt. Ein weiterer (nichtlinearer) Vertreter von parabolischen Gleichungen ist die Korteweg-de-Vries-Gleichung, die Wasserwellen in Ufernähe beschreibt.
Hyperbolische partielle Differentialgleichungen
Die typische hyperbolische Gleichung ist die Wellengleichung. Allgemein werden durch diese Art von Gleichungen Wellen und deren Ausbreitung beschrieben. Außerdem sind Gleichungen erster Ordnung immer hyperbolische. Im Unterschied zu parabolischen und elliptischen Gleichung werden Lösungen von hyperbolischen Gleichungen wenig bis gar nicht gedämpft. Das führt einerseits dazu, dass die Lösungstheorie schwieriger wird, da mit weniger Differenzierbarkeit gerechnet werden kann. Anderseits können sich Wellen erst durch diese fehlende Dämpfung über weite Strecken ausbreiten. Die zu diesem Typ gehörigen Anfangs- und Randwerte führen auf Cauchy-Probleme: Das bedeutet, dass wie im parabolischen Fall zusätzlich zu räumlichen Randbedingungen Anfangswerte benötigt werden. Bei hyperbolischen Gleichungen zweiter Ordnung benötigt man aber zwei Anfangswerte: Den Funktionswert und die zeitliche Ableitung desselben am Anfang. Am Beispiel einer eingespannten Saite soll dies verdeutlicht werden: Die Auslenkung der Saite erfüllt die Wellengleichung. Wenn die Saite an den Enden eingespannt ist, führt dies auf die räumlichen Randbedingungen, in diesem Fall ist die Auslenkung am Rand 0 (weil eingespannt), damit ist der Funktionswert am Rand bekannt und es ergeben sich Dirichlet-Randbedingungen. (Im Fall von frei schwingenden Objekten, wie in Holzblasinstrumenten kommt man dementsprechen auf Neumannbedingungen). Zusätzlich müssen jetzt noch zwei Anfangsbedingungen vorgegeben werden: Die Auslenkung (entspricht dem Funktionswert) am Anfang, und die Geschwindigkeit mit der die Saite am Anfang angezupft wird (entspricht der zeitlichen Ableitung). Mit diesem Bedingungen kann die Auslenkung zu allen späteren Zeitpunkten eindeutig gelöst werden.
Theorie
Wichtige Sätze:
- Satz von Cauchy-Kovalevskaja
- Satz von Holmgren
- Lemma von Lax-Milgram
- Maximumsprinzip
Numerische Verfahren für partielle Differentialgleichungen
Die meist benutzten Verfahren sind die Methode der finiten Elemente (FEM), der finiten Differenzen und der finiten Volumen.
Beispiele
- Navier-Stokes-Gleichungen
- Maxwellsche Gleichungen
- Schrödingergleichung
- Einsteinsche Feldgleichungen
- Biharmonische Gleichung
Gleichungen in denen neben partiellen Ableitungen auch Integrale auftreten nennt man Integro-Differentialgleichung.