Potenzmenge

Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge.

Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Man notiert die Potenzmenge einer Grundmenge X zumeist als

P(X) oder Π(X) oder X* oder 2^X.

In Formelschreibweise lautet die Definition

(lies: P von X ist definiert als die Menge aller U, für die gilt: U ist Teilmenge von X).

Hierbei wird die leere Menge als Teilmenge einer jeden Menge betrachtet.

Beispiel:

• Ist A = {a, b}, dann ist P(A) = { {a, b}, {a}, {b}, Ø }.
• P(Ø) = { Ø }
• Ist L = {2, 4, 6}, dann ist

P(L) = { Ø, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {4, 6}, {2, 6}, {2, 4, 6} }

Eigenschaften

Ist A eine endliche Menge mit n Elementen (), dann hat P(A) 2ⁿ Elemente. Diese Tatsache motiviert die Schreibweise 2^A: sie nimmt damit die suggestive Form | 2^A | = 2 ^{| A |} an.

Ist A eine unendliche Menge, dann hat P(A) eine größere Mächtigkeit als A. Nach der allgemeinen Kontinuumshypothese (GCH) ist |P(A)| die nach |A| nächstgrößere Mächtigkeit.

Man kann die Potenzmenge von A mit der Menge aller Funktionen von A in die Menge {0, 1} identifizieren, indem man jeder Teilmenge M von A ihre charakteristischen Funktion 1_M zuordnet:

Die Existenz der Potenzmenge jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert, nämlich durch das Potenzmengenaxiom.

Eine Teilmenge der Potenzmenge heißt Mengensystem.

See also: Potenzmenge, Charakteristische Funktion, Funktion (Mathematik), Kontinuumshypothese, Leere Menge, Mengenlehre, Mengensystem, Mächtigkeit, Unendliche Menge, Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre