Quadratische Gleichung

Unter einer Quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung mit einer Unbekannten (im Folgenden mit x bezeichnet), die nur positive ganzzahlige Exponenten hat und deren höchster Exponent 2 ist (die also aus Polynomen des Grades 2 aufgebaut ist).

Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung eine Parabel in der x-y-Ebene. Die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind die Nullstellen der quadratischen Gleichung.

Ein Beispiel ist

$-4 \cdot x^2 + 12 \cdot x + 30 = -10$

Eine übliche Darstellung (Normalform) bringt alle Terme (oder Glieder) der Gleichung auf eine Seite, ordnet sie nach fallendem Exponenten, und dividiert durch den Koeffizienten des quadratischen Terms. Folgende Gleichung ist dann äquivalent zur Obigen:

$x^2 - 3 \cdot x - 10 = 0$

Man spricht vom quadratischen Glied (x²), vom linearen Glied (-3·x) und vom absoluten / konstanten Glied (-10).

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet

$x^2 + p \cdot x + q = 0$

mit reellen oder komplexen Zahlen p und q. Dabei heißen

x² quadratisches Glied,
p · x lineares Glied und
q absolutes Glied der Gleichung.

Inhaltsverzeichnis

1 Wurzeln (Lösungen) der quadratischen Gleichung

1.1 Lösungsformeln
1.2 Beispiele

2 Verallgemeinerung (abstrakte Algebra)

3 Siehe auch

4 Weblinks

Wurzeln (Lösungen) der quadratischen Gleichung

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jede quadratische Gleichung (mit reellen oder komplexen Koeffizienten) zwei Wurzeln, auch Lösungen genannt. Diese Lösungen, wenn sie für x in die Gleichung eingesetzt werden, erfüllen die Gleichung. Die Wurzeln sind im allgemeinen komplexe Zahlen, und nicht notwendigerweise reelle Zahlen. Wenn man sich auf reelle Wurzeln beschränkt, sind manche quadratischen Gleichungen somit nicht auflösbar. Außerdem gibt es auch den Fall, dass beide Wurzeln gleich sind; man spricht dann von einer doppelten Wurzel. Sind die Koeffizienten reelle Zahlen, dann sind entweder beide Wurzeln reell oder beide nicht reell.

Lösungsformeln

Zum Finden von Wurzeln einer quadratischen Gleichung kann man die Quadratische Ergänzung benutzen.

In ihrer allgemeinen Form hat die quadratische Gleichung

$ax^2+bx+c=0, \quad a\neq 0$

die Lösungen

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

In der Normalform lautet die Gleichung:

$x^2 + p \cdot x + q = 0$

Die Lösungen (auch Wurzeln genannt) lassen sich nach der p-q-Formel berechnen:

$x_{1,2} = - \frac{p}{2}\pm\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }$

gegeben. Mit den Lösungen läßt sich die quadratische Gleichung in Normalform in eine faktorisierte Form überführen:

$x^2 + p \cdot x + q = ( x - x_1 ) \cdot ( x - x_2 )$

thumb|Lage der quadratischen Parabeln und Auswirkungen auf die Zahl der Nullstellen Der Ausdruck unter der Wurzel (die Diskriminante $D = b 2 - 4 a c$ ) bestimmt für eine Gleichung mit reellen Koeffizienten, wie viele reellwertige Lösungen die Gleichung hat. Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen Nullstellen und Diskriminante. Man kann drei Fälle unterscheiden:

D > 0: Die Parabel (A) hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, es gibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen x₁ und x₂,
D = 0: Die Parabel (B) hat einen Berührpunkt mit der x-Achse, es ist x₁ = x₂. Der Berührpunkt ist gleichzeitig auch ein Minimum (a<0) bzw. Maximum (a>0) und die quadratische Gleichung läßt sich auf die Form $a \cdot x^2 + b \cdot x + c = a \cdot (x - x_1)^2$ bringen.
D < 0, Die Parabel (C) hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, es gibt keine reelle Lösung der quadratischen Gleichung.

Aus numerischer Sicht ist es günstiger, die Lösungen so zu berechnen:

$x_1 = - \frac{p}{2} - \sgn(p) \cdot \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }$

$x_2 = \frac{c}{ax_1}$

Dadurch werden die Lösungen auch dann genau berechnet, wenn sie sich um viele Größenordnungen unterscheiden.

Beispiele

x² + 12·x + 20	=0	Beide Wurzeln sind negativ: -2 und -10
x² - 12·x + 35	=0	Beide Wurzeln sind positiv: +7 und +5
x² + 12·x + 37	=0	Es gibt keine reellen Wurzeln, weil das Quadrat der Hälfte von 12 36 ist, also kleiner als 37.
x² + 2·x - 35	=0	Die Wurzeln haben unterschiedliches Vorzeichen: -7 und +5

Verallgemeinerung (abstrakte Algebra)

Allgemein nennt man eine Gleichung der Form

x² + p·x + q = 0

mit Elementen p, q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung. In einem Körper und bestimmten Ringen (faktorielle Ringe) hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei haben. Falls Lösungen in dem betrachteten Ring oder Körper existieren, dann erhält man sie ebenfalls mit der pq-Formel, falls die Charakteristik des Ringes/Körpers ungleich 2 ist. Hierbei sind allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante zu berücksichtigen.

Z.B. hat die quadratische Gleichung

x² - 1 = 0

im Restklassenring Z/8Z die vier Lösungen 1, 3, 5, 7.

Siehe auch

Weblinks

http://www.bennoehr.com/qua-glei.htm
- Javascript zur Lösung einer quadratischen Gleichung mit Ausgabe von Normalform, Radikand und Lösungsmenge
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/quadratischegleichungen.htm
- Übungen zu quadratischen Gleichungen mit Korrektur (Javascript)