Prädikatenlogik

Die Prädikatenlogik oder Logik erster Ordnung ist ein Teilgebiet der Logik. Man kann sie als Erweiterung der Aussagenlogik ansehen, die zusätzlich zur Verknüpfung von Aussagen (beispielsweise durch und oder oder) auch die Eigenschaften von Objekten und ihre Geltungsbereiche betrachtet, wobei erstere durch Prädikatssymbole und Funktionssymbole, letztere durch Quantoren beschrieben werden. Die Grundlagen für eine formale Sprache der Prädikatenlogik (erster Ordnung) wurde von Gottlob Frege 1879 in seiner "Begriffsschrift" gelegt.

Mit der Prädikatenlogik lassen sich Aussagen wie:

"Es gibt ein Objekt mit der Eigenschaft ...."
"Für alle Objekte XY gilt ...."

formal darstellen, weiterhin sind Schlussfolgerungen (abstrahiert von der Semantik der prädikatenlogischen Symbole) möglich.

Beispiel (umgangssprachlich):

"Alle Metalle leiten den Strom."
"Kupfer ist ein Metall."

Daraus lässt sich auch ohne den Formalismus der Prädikatenlogik schließen:

"Kupfer leitet den Strom."

Dieser Schluss ist auch als Modus Barbara der Syllogistik bekannt.

In diesem Beispiel stellt in der ersten Aussage "Alle" einen Quantor dar, "leiten den Strom" ist ein Prädikat zu der Variablen, die mit "Metalle" belegt ist. In der zweiten Aussage ist "ist ein Metall" ein Prädikat zu "Kupfer".

Formal sieht dies so aus:

$\forall \left( x \right): \left( P\left(x\right) \and Q\left(y\right) \right) \Rightarrow \forall \left( y \right) :\left( P\left(y\right) \right)$

Hier müssen die Symbole noch mit Semantik gefüllt werden, also den Angaben, was die Prädikate bedeuten sollen.

Die Prädikatenlogik gibt einen formalen Rahmen für diese konkrete Schlussfolgerung und darüber hinaus für viele andere weniger offensichtliche Fälle.

Häufig spricht man präziser von Prädikatenlogik erster Stufe (englisch: first-order predicate calculus oder first order logic, FOL). Diese zeichnet sich dadurch aus, dass Sätze des Typs "für jede Eigenschaft E gilt folgendes..." nicht behandelt werden. Trotz dieser Einschränkung lässt sich aber mit der Prädikatenlogik erster Stufe die ganze Mengentheorie formalisieren und damit gewissermaßen fast das ganze Gebiet der Mathematik. Die Prädikatenlogik ist die klassische Logik, die der Mathematik zugrunde liegt.

Wie jeder Logikkalkül besteht die Prädikatenlogik aus

Angaben, wie man systematisch formal korrekte Aussagen konstruiert,
einer Menge von Axiomen, von denen jedes einzelne Axiom ebenfalls eine formal korrekte Formel darstellt,
einer Menge von Regeln, die erlauben Sätze (Theoreme) aus früher hergeleiteten Sätzen oder den Axiomen herzuleiten.

Formal fügt die Prädikatenlogik der Aussagenlogik, die den Wahrheitsgehalt kombinierter Aussagen untersucht, folgende Elemente hinzu:

Die Sätze sind hier in Erweiterung zur Aussagenlogik mit Quantoren versehen, die Aussagen über die Lösungszahl machen. Der All-Quantor $\left( \forall \right)$ sagt, dass für alle betrachteten Elemente oder Elementkombinationen eine (zusammengesetzte) Aussage zutrifft.
Der Existenz-Quantor $\left( \exists \right)$ sagt, dass mindestens für ein Element der betrachteten Elemente oder Elementkombinationen eine (zusammengesetzte) Aussage zutrifft.

Erweiterungen der Logik erster Ordnung sind unter anderem die Modallogik, Temporale Logik, Dynamische Logik, Aktionslogik, und Fixpunktlogik.

Inhaltsverzeichnis

1 Verneinung von Aussagen "Für alle ..."

2 Verneinung von Aussagen "Es existiert ..."

3 Rechenregeln für Quantoren

Verneinung von Aussagen "Für alle ..."

Will man eine Aussage "für alle Objekte gilt die Aussage A" verneinen, dann erreicht man dies zunächst durch Voranstellen von "nicht" und anschließendes "Ausmultiplizieren":

¬(für alle Objekte gilt die Aussage A) ⇔ Es existiert (mindestens) ein Objekt mit ¬A (A ist nicht wahr)
Kurz: ¬(∀A) ⇔ ∃(¬A)

Beispiel 1: Alle Autos sind grün.
Verneinung: Nicht alle Autos sind grün ⇔ Es gibt (mindestens) ein Auto, das nicht grün ist. (Natürlich kann es auch grüne Autos geben.)

Beispiel 2: Für alle ganzen Zahlen n gilt: n² ist eine Primzahl.
Verneinung: Es gibt (mindestens) eine ganze Zahl n mit der Eigenschaft n² ist keine Primzahl.

Verneinung von Aussagen "Es existiert ..."

Will man eine Aussage "Es existiert (mindestens) eine ganze Zahl n für die gilt: Aussage A(n) ist wahr" verneinen, dann erreicht man dies zunächst durch Voranstellen von "nicht" und späteren "Ausmultiplizieren":

¬(Es existiert (mindestens) eine ganze Zahl n für die gilt: Aussage A(n) ist wahr) ⇔ Für alle ganzen Zahlen n gilt ¬A(n)
Kurz: ¬(∃A) ⇔ ∀(¬A)

Beispiel 1: Es gibt (mindestens) eine ganze Zahl n mit der Eigenschaft: n ist durch 3 teilbar und n ist nicht durch 6 teilbar.
Verneinung: Für alle ganzen Zahlen n gilt: ¬(n ist durch 3 teilbar und n ist nicht durch 6 teilbar) ⇔ Für alle ganzen Zahlen n gilt: n ist nicht durch 3 teilbar oder n ist durch 6 teilbar.

Beispiel 2: Es gibt (mindestens) einen Deutschen der lügt.
Verneinung: Alle Deutschen lügen nicht.

Rechenregeln für Quantoren

$\exists x ( P(x) \vee Q(x) ) \Leftrightarrow \exists x P(x) \vee \exists x Q(x)$

$\forall x ( P(x) \wedge Q(x) ) \Leftrightarrow \forall x P(x) \wedge \forall x Q(x)$

$\neg \exists x P(x) \Leftrightarrow \forall x \neg P(x)$

$\neg \forall x P(x) \Leftrightarrow \exists x \neg P(x)$

$\forall x P(x) \vee \forall x Q(x) \Rightarrow \forall x ( P(x) \vee Q(x) )$

$\exists x ( P(x) \wedge Q(x) ) \Rightarrow \exists x P(x) \wedge \exists x Q(x)$

$\forall x (P \vee Q(x)) \Leftrightarrow P \vee \forall x Q(x)$

$\exists x (P \wedge Q(x)) \Leftrightarrow P \wedge \exists x Q(x)$

$\forall x P(x) \rightarrow Q \Leftrightarrow \exists x (P(x) \rightarrow Q)$

$\exists x P(x) \rightarrow Q \Leftrightarrow \forall x (P(x) \rightarrow Q)$

$P \rightarrow \forall x Q(x) \Leftrightarrow \forall x (P \rightarrow Q(x))$

$P \rightarrow \exists x Q(x) \Leftrightarrow \exists x (P \rightarrow Q(x))$

siehe auch Quantorenunverträglichkeit

Verfahren

Es gibt Verfahren, um prädikatenlogische Aussagen zu beweisen. Dazu gehören:

die prädikatenlogische Inferenz

Anwendung

Neben der Anwendung als Instrument für die Informatik, Mathematik und Linguistik findet die Prädikatenlogik insbesondere in der Konzeption und Programmierung von Expertensystemen und künstlicher Intelligenz eine Rolle.

Formeln der Prädikatenlogik lassen sich beispielsweise mit der Programmiersprache Prolog automatisch handhaben, jedoch wird dann zusätzliche die Closed-world-assumption (Annahme zur Weltabgeschlossenheit) angenommen.

Eine Form der Wissensrepräsentation kann mit einer Sammlung von Ausdrücken in Prädikatenlogik erfolgen.

Der Relationenkalkül, eine der theoretischen Grundlagen von Datenbankabfragesprachen wie etwa SQL, bedient sich ebenfalls der Prädikatenlogik als Ausdrucksmittel.

Siehe auch: Fehlschluss, Syllogismus, Vollfreie Variable, Pränexform

Literatur

Benson Mates: Elementare Logik - Prädikatenlogik der ersten Stufe; Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen; 1997; ISBN 3525405413