Prämisse

Prämisse (v. lat.: praemissum = das Vorausgeschickte) heißt in der Logik eine Voraussetzung oder Annahme, von der wir in unserem Denken ausgehen. Sie ist eine Aussage, aus der wir eine logische Schlussfolgerung ziehen.

Beispiel: Aus "Alle Menschen sind sterblich" und "Sokrates ist ein Mensch" folgt "Sokrates ist sterblich". Die beiden erstgenannten Aussagen sind dabei Prämissen. Die letztgenannte Aussage ist die Konklusion der Schlussfolgerung.

Inhaltsverzeichnis

1 Unterscheidung zwischen zwei Bedeutungen von Prämisse

2 Prämissen und Wahrheit

3 Prämissen in der Syllogistik

4 Symbolische Darstellung

5 Abhängigkeit und Freiheit von Prämissen

Unterscheidung zwischen zwei Bedeutungen von Prämisse

Man sollte zwischen dem Gebrauch des Wortes "Prämisse" in der Umgangssprache und in der Logik unterscheiden. Im umgangssprachlichen Sinn sind die Prämissen, von denen jemand ausgeht, oft Sätze, die dieser Jemand für wahr oder zumindest wahrscheinlich hält. Solche Sätze sind beispielsweise Hypothesen in der Wissenschaft, also Sätze, die noch nicht sicher sind, von denen man aber bis zum Beweis des Gegenteils ausgeht. Im logischen Sinne brauchen Prämissen nicht für wahr gehalten zu werden. Im Gegenteil setzt man gelegentlich Prämissen, von denen man genau weiß, dass sie falsch sind. Dies ist z.B. bei der Beweistechnik des indirekten Beweises der Fall, wo von einer Annahme ausgegangen wird mit dem Ziel, diese zu widerlegen. (Das vielleicht bekannteste Beispiel für einen indirekten Beweis ist der Satz des Euklid, bei dem bewiesen wird, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.) Prämissen sind hier also einfach Aussagen, von denen Schlussfolgerungen ausgehen, ohne Rücksicht darauf, ob sie nun wahr, wahrscheinlich oder falsch sind.

Prämissen und Wahrheit

Dennoch gibt es einen engen Zusammenhang zwischen Prämissen und Wahrheit. Sind die Prämissen in einem gültigen Schluss wahr, muss auch die Konklusion wahr sein. Ein Beispiel hierfür ist der obengenannte Schluss, dass aus "Alle Menschen sind sterblich" und "Sokrates ist ein Mensch" folgt "Sokrates ist sterblich". Das Umgekehrte gilt jedoch nicht: Sind die Prämissen (oder einige der Prämissen) falsch, gilt nicht notwendigerweise, dass die Konklusion falsch ist. Dies kann man sich daran klarmachen, dass aus "Alle Menschen sind Griechen" und "Sokrates ist ein Mensch" folgt "Sokrates ist Grieche". (Eine Prämisse ist falsch, dennoch ist die Konklusion korrekt.)

Prämissen in der Syllogistik

Die Prämisse wird in der Syllogistik auch als Vordersatz oder Obersatz (lat. propositio maior) eines Syllogismus bezeichnet.

Ausgehend von einer ersten Prämisse und einer folgenden zweiten Prämisse, dem Untersatz (lat. propositio minor), folgern wir einen logisch notwendigen Schluss (lat. conclusio).

Beispiel für die 1. Prämisse:
Deutschland liegt in Mitteleuropa.

Beispiel für die 2. Prämisse:
Mitteleuropa hat ein gemässigtes Klima.

Beispiel für den passenden Schluss-Satz:
Deutschland befindet sich in einer gemässigten Klimazone.

Symbolische Darstellung

Symbolisch lässt sich eine Schlussfolgerung wie folgt darstellen:

$\{\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, ... \mathrm{A}_n\} \vdash \mathrm{B}$

Lies: Aus $A 1,A 2,...A n$ folgt $B$

Eine Schlussfolgerung kann also mehrere Prämissen haben, man geht jedoch gewöhnlich davon aus, dass sie nur eine Konklusion hat. Dies ist aber größtenteils Konvention, es gibt keinen prinzipiellen Grund, warum eine Schlussfolgerung nicht mehrere Konklusionen haben sollte.

Abhängigkeit und Freiheit von Prämissen

Bei der oben dargestellten Schlussfolgerung spricht man davon, dass sich die Konklusion $B$ in Abhängigkeit von den Prämissen $A 1,A 2,...A n$ ergibt. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, solche Abhängigkeiten zu tilgen (engl. "detachment"). Eine davon ist, eine der Prämissen durch die "Wenn-Dann"-Konstruktion gleichsam in die Konklusion mit aufzunehmen:

$\{\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, ... \mathrm{A}_{n-1}\} \vdash \mathrm{A}_n \supset \mathrm{B}$

$\mathrm{A}_n \supset \mathrm{B}$ ist dabei zu lesen als: Wenn $A n$ , dann $B$

Beispiel: Anstatt aus "Alle Menschen sind sterblich" und "Sokrates ist ein Mensch" zu folgern: "Sokrates ist sterblich" kann ich aus "Alle Menschen sind sterblich" alleine folgern: "Wenn Sokrates ein Mensch ist, ist er sterblich".

Eine andere Möglichkeit ergibt sich, wenn es gelingt, eine der Prämissen aus den anderen zu beweisen, wenn also gilt:

$\{\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, ... \mathrm{A}_{n-1}\} \vdash \mathrm{A}_n$

Dann ist die Prämisse $A n$ überflüssig und kann ebenfalls aus der Annahmenmenge getilgt werden.

Beispiel: Gelingt es mir, zu beweisen, dass Sokrates ein Mensch ist, so kann ich aus "Alle Menschen sind sterblich" direkt folgern "Sokrates ist sterblich".

Siehe auch Systeme natürlichen Schließens, Ableitung (Logik)).

Kategorie:Logik