Primzahlsatz

Der Primzahlsatz erlaubt eine endliche Abschätzung der Verteilung der Primzahlen. Er wurde bereits von Gauß um 1800 vermutet, aber erst 1896 unabhängig von Hadamard und de la Vallée Poussin bewiesen.

Inhaltsverzeichnis

1 Die Primzahlfunktion

1.1 Analytischer Ausdruck für π(x)

2 Der Primzahlsatz

3 Stärkere Formen des Primzahlsatzes

Die Primzahlfunktion

Im weiteren sei $π(x)$ die Primzahlfunktion, die für beliebige reelle Zahlen $x$ definiert ist als die Anzahl der Primzahlen $p\leq x$ . Formal kann man schreiben:

$\pi (x) = \# \{ p \le x \mid p \in \mathbb{P} \}$

Dabei bezeichnet das Symbol $\mathbb{P}$ die Menge der Primzahlen, die Schreibweise $\#M$ steht für die Anzahl der Elemente der Menge $M$ .

Analytischer Ausdruck für π(x)

Für natürliche Zahlen $n\geq4$ gilt nach einem Ergebnis von G. H. Hardy auch die konkrete Formel

$\pi(n) = -1 + \sum_{j=3}^n \left[ (j-2)! -j \left\lfloor \frac{(j-2)!}{j} \right\rfloor \right] .$

$\lfloor x \rfloor$ ist dabei die Gaußklammer. Die Formel ist eine einfache Folge aus dem Satz von Wilson.

Der Primzahlsatz

Der Primzahlsatz besagt:

$\lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} = 1.$

Nennt man zwei reelle Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ asymptotisch äquivalent, in Formelschreibweise $f(x)\sim g(x)$ , wenn der Quotient $f (x) / g (x)$ für $x\to\infty$ gegen 1 konvergiert, so kann man den Primzahlsatz auch so formulieren:

Die Funktionen

π(x)

und

x / ln x

sind asymptotisch äquivalent.

Stärkere Formen des Primzahlsatzes

Bessere Approximationen als $x / ln x$ liefert der so genannte Integrallogarithmus, der definiert wird als

$\mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln t}.$

(Die Integraldarstellung für Li(x) wird gewählt, weil die Stammfunktion von 1/ln(x) nicht elementar ist.)

Der Integrallogarithmus ist asymptotisch äquivalent zu $x / ln x$ , also auch zu $π(x)$ .

Man kann sogar zeigen:

$\pi(x) = \mathrm{Li}\,x + O(x\exp(-C\sqrt{\ln x}))$

mit einer positiven Konstanten

C

$O(\ldots)$ ist dabei ein Landau-Symbol, d.h. es gibt eine Konstante $D$ , so dass

$|\pi(x)-\mathrm{Li}\,x|<D\cdot x\exp(-C\sqrt{\ln x})$

für alle $x$ gilt.

Geschichte

Legendre vermutete 1797/98, $π(x)$ sei ungefähr gleich

$\frac x{\ln x - 1{,}08366}.$

Tschebyschow zeigte 1851 die folgende schwächere Form des Primzahlsatzes:

$0{,}92929 \le \frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} \le 1{,}1056$

für alle hinreichend großen

x

Zahlenbeispiele

Die folgende Tabelle zeigt konkrete Werte des Primzahlsatzes sowie die Werte, die sich aus Legendres Formel ergeben.
x	π(x)	π(x) / x	x / ln(x)	π(x)·ln(x) / x	Legendre
10	4	0,4000	4,34	0,9210	8
100	25	0,2500	21,71	1,1513	28
1 000	168	0,1680	144,76	1,1605	172
10 000	1 229	0,1229	1 085,74	1,1320	1 231
100 000	9 592	0,0959	8 685,89	1,1043	9 588
1 000 000	78 498	0,0785	72 382,41	1,0845	78 543
10 000 000	664 579	0,0665	620 420,69	1,0712	665 140
100 000 000	5 761 455	0,0576	5 428 681,02	1,0613	5 768 004
1 000 000 000	50 847 534	0,0508	48 254 942,43	1,0537	50 917 519

Die Größe $π(x) / x$ heißt Primzahldichte.

Literatur

E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 2. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 1995.

Weblinks

http://www.utm.edu/research/primes/howmany.shtml